Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Часть 2. Булгакова И.Н - 66 стр.

UptoLike

Операция замыкания . Основные замкнутые классы .
__________________________________________________________________________________________
112
Пусть
(
)
xP
одноместный предикат , определенный на множест -
ве
M
.
Определение 3: Квантором общности предиката
(
)
xP
называется
высказывание
(
)
xPx
(читается: для всякого
x
(
)
xP истинно), которое
истинно, когда предикат
(
)
xP
тождественно истинный, и ложно в против-
ном случае, т.е.
()
(
)
()
=∀
.предикатйопровржимыxPесли,
;xPесли,
xPx
0
11
Переменную
x
в предикате
(
)
xP
называют свободной, т . к. ей мож -
но придавать различные конкретные значения из множества
M
. В выска -
зывании
(
)
xPx
переменную
x
называют связанной квантором общно-
сти
.
Определение 4: Квантором существования предиката
(
)
xP
назы-
вается высказывание
(
)
xPx
(читается: существует
x
, при котором
(
)
xP
истинно), которое истинно, если существует хотя бы один элемент
M
x
,
для которого
(
)
xP истинно, и ложно в противном случае, т.е.
()
(
)
()
=∃
.xPесли,
;предикатвыполнимыйxPесли,
xPx
00
1
В высказывании
(
)
xPx
переменная
x
связана квантором сущест -
вования
. Заметим, что символы
и
происходят от первых букв
английских слов «All» (все) и « Exist» (существовать).
Пример 2. Пусть
(
)
[
]
3≥= xxP , определенный на
множестве натуральных чисел
. Тогда высказыва -
ние
(
)
xPx
ложно , высказывание
(
)
xPx
истинно .
Пример 3. Даны предикаты
()
>++= Rx,xxxP 0
2
1
2
и
(
)
[
]
Rx,xxxQ =+−= 065
2
, определенные на множестве действитель-
ных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны, а ка -
кие ложны:
1.
(
)
xPx
3.
(
)
xQx
2.
(
)
xPx
4.
(
)
xQx
Решение. Т.к. квадратный трехчлен 0
4
1
2
1
2
1
2
2
>+
+=++ xxx
при всех
R
x
, то высказывания
(
)
xPx
и
(
)
xPx
истинны.
Т.к. уравнение
0
6
5
2
=
+
xx имеет два действительных корня
2
1
=
x
и
3
2
=
x
, то предикат
(
)
xQ принимает значение 1 только при
2
=
x