Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 2. Булгакова И.Н. - 59 стр.

UptoLike

Составители: 

59
Определение 3. Квантором общности предиката
(
)
xP называется
высказывание
(
)
xPx
"
(читается: для всякого
x
(
)
xP истинно), которое
истинно, когда предикат
(
)
xP тождественно истинный, и ложно в против-
ном случае, т.е.

1, если Pxє1;
0,
если Px опровержимыйпредикат.
Переменную
x
в предикате
(
)
xP называют свободной, т. к. ей мож-
но придавать различные конкретные значения из множества
.
M
В выска-
зывании
(
)
xPx
"
переменную
x
называют связанной квантором общно-
сти
"
.
Определение 4. Квантором существования предиката
(
)
xP назы-
вается высказывание
(
)
xPx
$
(читается: существует
x
, при котором
(
)
xP
истинно), которое истинно, если существует хотя бы один элемент
,
xM
для которого
(
)
xP истинно, и ложно в противном случае, т.е.
()
(
)
()
î
í
ì
º
-
=$
.xPесли,
;предикатвыполнимыйxPесли,
xPx
00
1
В высказывании
(
)
xPx
$
переменная
x
связана квантором сущест-
вования
$
. Заметим, что символы
"
и
$
происходят от первых букв анг-
лийских слов «All» (все) и «Exist» (существовать).
Пример 2. Пусть
(
)
[
]
3
³
=
xxP , определенный на множестве нату-
ральных чисел
N
. Тогда высказывание
(
)
xPx
"
ложно, высказывание
(
)
xPx
$
истинно.
Пример 3. Даны предикаты
()
ú
û
ù
ê
ë
é
Î>++= Rx,xxxP 0
2
1
2
и
(
)
[
]
Rx,xxxQ
Î
=
+
-
=
065
2
, определенные на множестве действитель-
ных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны, а ка-
кие ложны:
1.
(
)
xPx
"
; 3.
(
)
xQx
"
;
2.
(
)
xPx
$
; 4.
(
)
xQx
$
.
Решение. Т. к. квадратный трехчлен 0
4
1
2
1
2
1
2
2
>+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=++ xxx
при всех
R
x
Î
, то высказывания
(
)
xPx
"
и
(
)
xPx
$
истинны.
Т. к. уравнение
0
6
5
2
=
+
-
xx имеет два действительных корня
2
1
=
x и 3
2
=
x , то предикат
(
)
xQ принимает значение 1 только при
2
=
x
и при
3
=
x
, а значение 0 в остальных случаях. Поэтому высказывание
(
)
xQx
"
ложно, высказывание
(
)
xQx
$
истинно.