Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

51
2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
2.1. Описание матричного алгоритма для расчета рам
методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-
нонических уравнений имеет вид
=
+
⋅
0
0
0
2
1
2
1
21
22221
11211
Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Κ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
R
R
z
z
z
rrr
rrr
rrr
или
R
r
·Z + R
P
= 0
2.1)
где R
r
– матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-
зей;
R
P
– вектор реактивных усилий в дополнительных связях
от заданной внешней нагрузки;
Z – вектор неизвестных перемещений.
Элементы матриц R
r
и R
P
определяются по формулам:
∑
∫
∑
∫
′
−==
EI
dsMM
R
EI
dsMM
r
iP
iP
ki
ik
;
где
ki
MM ,
- изгибающие моменты в основной системе
метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-
ных связей
;1, =
ki
ZZ
M
/
P
– изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе, соответствующей
исходной системе.
Матрицы R
r
и R
P
также можно вычислить напрямую по
формулам:
R
r
= M
T
ed
·B·M
ed
(2.2)
52
R
P
= - M
T
ed
·B·M
/
P
(2.3)
где M
ed
– матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений
дополнительных связей Z
1
= Z
2
= …. = Z
n
=1. Эта матрица со-
держит n столбцов и m строк. Число n равно числу единичных
перемещений, а m - числу сечений, в которых вычисляются
внутренние усилия. Верхний индекс «
Т
» в формулах (2.2) и (2.3)
обозначает операцию транспонирования
B – матрица податливости отдельных, не связанных эле-
ментов;
M
/
P
– вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил.
Решая матричное уравнение (2.1) с учетом (2.2) и (2.3), по-
лучим вектор неизвестных
Z = - R
-1
r
·R
P
= - (M
T
ed
B·M
ed
)
-1
·( M
T
ed
·B·M
/
P
)
(2.4)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле
M = M
ed
Z + M
P
(2.5)
или с учетом (2.4)
M = M
ed
(M
T
ed
B·M
ed
)
-1
·( M
T
ed
·B·M
/
P
) + M
P
(2.6)
2.1.1 Пример расчета рамы методом перемещений в
среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы
(рис.2.1). Считаем, что жесткости всех стержней рамы равны:
EI = const. Примем условно EI = 1. 
                                51                                                                 52

         2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ                                              RP = - MTed·B·M/P                      (2.3)
        СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
     2.1. Описание матричного алгоритма для расчета рам                   где Med – матрица влияния изгибающих моментов в основ-
методом перемещений                                                  ной системе метода перемещений от единичных перемещений
     Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-          дополнительных связей Z1 = Z2 = …. = Zn =1. Эта матрица со-
нонических уравнений имеет вид                                       держит n столбцов и m строк. Число n равно числу единичных
              r11   r12   Κ    r1n   z1   R1P   0            перемещений, а m - числу сечений, в которых вычисляются
             r                                                      внутренние усилия. Верхний индекс «Т» в формулах (2.2) и (2.3)
              21    r22   Λ    r2 n   z 2   R2 P   0 
                                       ⋅         +          =      обозначает операцию транспонирования
             Λ      Λ     Λ    Λ  Λ   Λ  Λ                        B – матрица податливости отдельных, не связанных эле-
                                                             ментов;
              rn1   rn 2 Λ     rnn   z n   RnP   0 
                                                                          M/P – вектор изгибающих моментов в любой статически
     или                                                             определимой системе от внешних сил.
                           Rr·Z + RP = 0                                  Решая матричное уравнение (2.1) с учетом (2.2) и (2.3), по-
                                                      2.1)           лучим вектор неизвестных
      где Rr – матрица реакций во введенных дополнительных                   Z = - R-1r·RP = - (MTed B·Med)-1·( MTed·B·M/P)     (2.4)
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-
зей;                                                                      Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
      RP – вектор реактивных усилий в дополнительных связях          ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле
от заданной внешней нагрузки;                                                             M = MedZ + MP                     (2.5)
      Z – вектор неизвестных перемещений.
      Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам:                    или с учетом (2.4)
                          M M ds            M ′ M ds                          M = Med (MTed B·Med)-1·( MTed·B·M/P) + MP        (2.6)
              rik = ∑ ∫ i k ; R iP = − ∑ ∫ P i                             2.1.1 Пример расчета рамы методом перемещений в
                            EI                 EI
                                                                     среде Mathcad
      где M i , M k - изгибающие моменты в основной системе
                                                                           Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы
метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-             (рис.2.1). Считаем, что жесткости всех стержней рамы равны:
ных связей Z i , Z k = 1;                                                  EI = const. Примем условно EI = 1.
      M/P – изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе, соответствующей
исходной системе.

     Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам:
                  Rr = MTed·B·Med                 (2.2)

Страницы