Решение задач по теоретической механике. Ч.3. Динамика. Чеботарев А.С - 21 стр.

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ВГУ | Воронеж

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21
ɝɞɟ
t
kp
pkk
h
ta
2
sin
)(
)(
. ɉɪɢ k§p a(t) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɟɞɥɟɧɧɨ
ɢɡɦɟɧɹɸɳɟɣɫɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ
kp
T
a
S
4
. (6)
Ʉɚɤ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (5), ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɫ ɤɪɭɝɨɜɨɣ
ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɪ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɟɧ
p
T
S
2
. (7)
Ɍɚɤ ɤɚɤ k § p, ɬɨ Ɍ
ɚ
>> T, ɩɪɢɱɟɦ
kp
p
T
T
a
2
.
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ
( ) cos(101 ), ɝɞɟ ( ) 80sin 12,56 , 0,063 .
2
ɚ
t
x
at t at ɌɫɌɫ
Ɂɚɞɚɱɚ ʋ 2. ɉɧɟɜɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣ
ɨɬɛɨɣɧɵɣ ɦɨɥɨɬɨɤ
ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹ ɜ ɞɜɢɠɟɧɢɟ
ɫɠɚɬɵɦ ɜɨɡɞɭɯɨɦ,
ɩɨɫɬɭɩɚɸɳɢɦ ɜ ɤɨɪɩɭɫ
ɦɨɥɨɬɤɚ ɱɟɪɟɡ ɲɥɚɧɝ Ⱥ.
Ⱦɚɜɥɟɧɢɟ ɜɨɡɞɭɯɚ,
ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɟ ɤ ɩɨɪɲɧɸ D
ɦɨɥɨɬɤɚ, ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɨɝɥɚɫɧɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
),3cos()cos(
310
ptHptHHS
ɝɞɟ ɪ, ɇ
0
, ɇ
1
, ɇ
3
– ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ
ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼ ɤɨɪɩɭɫ ɦɨɥɨɬɤɚ
ɜɦɨɧɬɢɪɨɜɚɧɚ ɩɪɭɠɢɧɚ ȼ ɫ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɫ.
ɉɪɭɠɢɧɚ ɭɩɢɪɚɟɬɫɹ ɥɟɜɵɦ
ɤɨɧɰɨɦ ɜ ɩɨɪɲɟɧɶ, ɚ ɩɪɚɜɵɦ –
ɜ ɤɨɪɩɭɫ ɦɨɥɨɬɤɚ. ɉɨɪɲɟɧɶ D
ɫɨɟɞɢɧɟɧ ɲɬɨɤɨɦ ȿ ɫ ɛɨɣɤɨɦ Ɇ.
Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɨɪɲɧɹ
ɩɪɢ ɪɚɛɨɬɟ ɦɨɥɨɬɤɚ ɜɯɨɥɨɫɬɭɸ.
Ɇɚɫɫɨɣ ɲɬɨɤɚ ȿ, ɛɨɣɤɚ Ɇ ɢ
ɩɪɭɠɢɧɵ ȼ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɫɢɥɨɣ
ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ.
Ɋɟɲɟɧɢɟ.
ɇɚɩɪɚɜɢɦ ɨɫɶ ɯ ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɢ ɧɚɩɪɚɜɨ, ɜɡɹɜ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɜ
ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɨɪɲɧɹ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ ɇ
0
ɢ
ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ F
ɫɬ
. ȼ ɷɬɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɩɪɭɠɢɧɚ ɫɠɚɬɚ ɧɚ d
ɫɢɥɨɣ ɇ
0
. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ F
ɫɬ
= ɫd. Ɂɚɩɢɲɟɦ
ɭɫɥɨɜɢɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɨɪɲɧɹ ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɫɶ ɯ:
0
0
cdH
.
                  h          pk
ɝɞɟ   a (t )             sin      t . ɉɪɢ k§p a(t) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɟɞɥɟɧɧɨ
              k (k  p )       2
ɢɡɦɟɧɹɸɳɟɣɫɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ
                                         4S
                                 Ta           .                            (6)
                                        pk
    Ʉɚɤ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (5), ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɫ ɤɪɭɝɨɜɨɣ
ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɪ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɟɧ
                                  2S
                              T       .                                    (7)
                                    p
                                           Ta     2p
    Ɍɚɤ ɤɚɤ k § p, ɬɨ Ɍɚ >> T, ɩɪɢɱɟɦ                 .
                                            T   pk
    ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ
                                                t
     x a(t ) cos(101 ˜ t ), ɝɞɟ a(t ) 80sin       Ɍ ɚ 12,56 ɫ, Ɍ 0, 063 ɫ.
                                                2


Ɂɚɞɚɱɚ ʋ 2. ɉɧɟɜɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣ             ɜ ɤɨɪɩɭɫ ɦɨɥɨɬɤɚ. ɉɨɪɲɟɧɶ D
ɨɬɛɨɣɧɵɣ                 ɦɨɥɨɬɨɤ       ɫɨɟɞɢɧɟɧ ɲɬɨɤɨɦ ȿ ɫ ɛɨɣɤɨɦ Ɇ.
ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹ       ɜ     ɞɜɢɠɟɧɢɟ
ɫɠɚɬɵɦ                  ɜɨɡɞɭɯɨɦ,
ɩɨɫɬɭɩɚɸɳɢɦ          ɜ      ɤɨɪɩɭɫ
ɦɨɥɨɬɤɚ ɱɟɪɟɡ ɲɥɚɧɝ Ⱥ.
Ⱦɚɜɥɟɧɢɟ                  ɜɨɡɞɭɯɚ,
ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɟ ɤ ɩɨɪɲɧɸ D
ɦɨɥɨɬɤɚ, ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɨɝɥɚɫɧɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
S H 0  H1 cos( pt )  H 3 cos(3 pt ),     Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ           ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
                                           ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɨɪɲɧɹ
ɝɞɟ ɪ, ɇ0, ɇ1, ɇ3 – ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ
                                           ɩɪɢ ɪɚɛɨɬɟ ɦɨɥɨɬɤɚ ɜɯɨɥɨɫɬɭɸ.
ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼ ɤɨɪɩɭɫ ɦɨɥɨɬɤɚ
                                           Ɇɚɫɫɨɣ ɲɬɨɤɚ ȿ, ɛɨɣɤɚ Ɇ ɢ
ɜɦɨɧɬɢɪɨɜɚɧɚ ɩɪɭɠɢɧɚ ȼ ɫ
                                           ɩɪɭɠɢɧɵ ȼ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɫɢɥɨɣ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɫ.
                                           ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ.
ɉɪɭɠɢɧɚ ɭɩɢɪɚɟɬɫɹ ɥɟɜɵɦ
ɤɨɧɰɨɦ ɜ ɩɨɪɲɟɧɶ, ɚ ɩɪɚɜɵɦ –
Ɋɟɲɟɧɢɟ.
    ɇɚɩɪɚɜɢɦ ɨɫɶ ɯ ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɢ ɧɚɩɪɚɜɨ, ɜɡɹɜ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɜ
ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɨɪɲɧɹ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ ɇ0 ɢ
ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ Fɫɬ . ȼ ɷɬɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɩɪɭɠɢɧɚ ɫɠɚɬɚ ɧɚ d
ɫɢɥɨɣ ɇ0. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ Fɫɬ = ɫd. Ɂɚɩɢɲɟɦ
ɭɫɥɨɜɢɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɨɪɲɧɹ ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɫɶ ɯ: H 0  cd 0 .

                                     21

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