Решение задач по теоретической механике. Ч.3. Динамика. Чеботарев А.С - 44 стр.

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ВГУ | Воронеж

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Рубрика: 

44
Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɫɢɥɵ
1
S
Q
ɞɚɞɢɦ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɟ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ
G
s
1
, ɫɱɢɬɚɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ
G
s
2
ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ, ɬ. ɟ.
G
G
ss
12
00z ;
. (ɗɬɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɦɨ, ɬɚɤ ɤɚɤ s
1
ɢ s
2
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ
ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ.)
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɝɪɭɡ
ȼ, ɛɥɨɤ ȿ ɢ ɩɪɚɜɚɹ ɜɟɬɜɶ ɧɢɬɢ ɨɬ ɝɪɭɡɚ ȼ ɞɨ ɬɨɱɤɢ
N ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɩɨɤɨɟ. ɉɪɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɝɪɭɡɚ Ⱥ ɜɧɢɡ ɧɚ
G
s
1
,
ɜɜɢɞɭ ɧɟɪɚɫɬɹɠɢɦɨɫɬɢ ɧɢɬɢ, ɬɨɱɤɚ
Ɇ ɧɢɬɢ ɩɨɥɭɱɢɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ
G
r
M
ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɜɜɟɪɯ, ɪɚɜɧɨɟ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ
G
s
1
. ɍɱɢɬɵɜɚɹ,
ɱɬɨ ɬɨɱɤɚ
N ɧɢɬɢ ɨɫɬɚɧɟɬɫɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɩɨɤɨɟ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɨɫɢ ɛɥɨɤɚ
G
r
O
5
(ɪɢɫ. ɛ), ɪɚɜɧɨɟ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɦɨɞɭɥɹ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ
G
r
M
, ɬ. ɟ.
22
1
5
sr
r
M
O
G
G
G
. (2)
ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɫɭɦɦɭ ɪɚɛɨɬ ɚɤɬɢɜɧɵɯ ɫɢɥ ɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹɯ
ɬɨɱɟɤ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɦɭ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦɭ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɸ
G
s
1
ɝɪɭɡɚ Ⱥ:
56511
)(sin
O
rPPsPA
G
D
G
G
.
ɉɪɢɧɢɦɚɹ ɜɨ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥɭ (2), ɧɚɯɨɞɢɦ
1651
)(
2
1
sin sPPPA
GDG
»
¼
º
«
¬
ª
. (3)
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ
Ɋ
2
ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɬɚɤ ɤɚɤ
G
s
2
0
, ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥ
ɬɹɠɟɫɬɢ
Ɋ
3
ɢ Ɋ
4
ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɬɨɱɤɢ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɫɢɥ
ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵ. Ɉɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɫɢɥɨɣ
1
S
Q
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ, ɫɬɨɹɳɢɣ ɩɪɢ
ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ (3), ɬ. ɟ.
)(
2
1
sin
651
1
PPPQ
S
D
. (4)
Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɫɢɥɵ
2
S
Q
ɞɚɞɢɦ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɟ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ
G
s
2
, ɫɱɢɬɚɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ
G
s
1
ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ:
G
G
ss
21
00z ;
.
ɗɬɨ ɡɧɚɱɢɬ, ɱɬɨ ɝɪɭɡ
Ⱥ, ɛɥɨɤ D ɢ ɥɟɜɚɹ ɜɟɬɜɶ ɧɢɬɢ ɨɬ ɝɪɭɡɚ Ⱥ ɞɨ ɬɨɱɤɢ
Ɇ ɧɢɬɢ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɩɨɤɨɟ. ɉɪɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɝɪɭɡɚ ȼ ɧɚ
G
s
2
ɜɧɢɡ, ɜɜɢɞɭ ɧɟɪɚɫɬɹɠɢɦɨɫɬɢ ɧɢɬɢ, ɬɨɱɤɚ
N ɧɢɬɢ ɩɨɥɭɱɢɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ
N
r
G
ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɜɜɟɪɯ, ɪɚɜɧɨɟ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɦɨɞɭɥɸ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ
G
s
2
. ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɬɨɱɤɚ Ɇ ɧɢɬɢ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɪɢ
ɷɬɨɦ ɜ ɩɨɤɨɟ, ɧɚɯɨɞɢɦ (ɪɢɫ.
ɜ)
     Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɫɢɥɵ QS1 ɞɚɞɢɦ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɟ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ Gs1 , ɫɱɢɬɚɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ Gs2 ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ, ɬ. ɟ.
Gs1 z 0; Gs2 0 . (ɗɬɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɦɨ, ɬɚɤ ɤɚɤ s1 ɢ s2 ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ
ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ.)
     Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɝɪɭɡ ȼ, ɛɥɨɤ ȿ ɢ ɩɪɚɜɚɹ ɜɟɬɜɶ ɧɢɬɢ ɨɬ ɝɪɭɡɚ ȼ ɞɨ ɬɨɱɤɢ
N ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɩɨɤɨɟ. ɉɪɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɝɪɭɡɚ Ⱥ ɜɧɢɡ ɧɚ Gs1 ,
ɜɜɢɞɭ ɧɟɪɚɫɬɹɠɢɦɨɫɬɢ ɧɢɬɢ, ɬɨɱɤɚ Ɇ ɧɢɬɢ ɩɨɥɭɱɢɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ GrM ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɜɜɟɪɯ, ɪɚɜɧɨɟ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ Gs1 . ɍɱɢɬɵɜɚɹ,
ɱɬɨ ɬɨɱɤɚ N ɧɢɬɢ ɨɫɬɚɧɟɬɫɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɩɨɤɨɟ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɨɫɢ ɛɥɨɤɚ GrO5 (ɪɢɫ. ɛ), ɪɚɜɧɨɟ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɦɨɞɭɥɹ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ GrM , ɬ. ɟ.
              G rM G s1
     G rO 5             .                                             (2)
                2    2
     ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɫɭɦɦɭ ɪɚɛɨɬ ɚɤɬɢɜɧɵɯ ɫɢɥ ɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹɯ
ɬɨɱɟɤ       ɫɢɫɬɟɦɵ,     ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ    ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɦɭ       ɜɨɡɦɨɠɧɨɦɭ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɸ Gs1 ɝɪɭɡɚ Ⱥ:
    GA P1 sin DG s1  ( P5  P6 )G rO 5 .
    ɉɪɢɧɢɦɚɹ ɜɨ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥɭ (2), ɧɚɯɨɞɢɦ
          ª             1             º
    GA    «¬ P1 sin D  2 ( P5  P6 )»¼G s1 .                        (3)

    Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ Ɋ2 ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɬɚɤ ɤɚɤ Gs2 0 , ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥ
ɬɹɠɟɫɬɢ Ɋ3 ɢ Ɋ4 ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɬɨɱɤɢ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɫɢɥ
ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵ. Ɉɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɫɢɥɨɣ QS1 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ, ɫɬɨɹɳɢɣ ɩɪɢ
ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ (3), ɬ. ɟ.
                    1
    QS1   P1 sin D  ( P5  P6 ) .                                   (4)
                    2
    Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɫɢɥɵ QS2 ɞɚɞɢɦ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɟ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ Gs2 , ɫɱɢɬɚɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ Gs1 ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ:
Gs2 z 0; Gs1 0 .
    ɗɬɨ ɡɧɚɱɢɬ, ɱɬɨ ɝɪɭɡ Ⱥ, ɛɥɨɤ D ɢ ɥɟɜɚɹ ɜɟɬɜɶ ɧɢɬɢ ɨɬ ɝɪɭɡɚ Ⱥ ɞɨ ɬɨɱɤɢ
Ɇ ɧɢɬɢ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɩɨɤɨɟ. ɉɪɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɝɪɭɡɚ ȼ ɧɚ Gs2
ɜɧɢɡ, ɜɜɢɞɭ ɧɟɪɚɫɬɹɠɢɦɨɫɬɢ ɧɢɬɢ, ɬɨɱɤɚ N ɧɢɬɢ ɩɨɥɭɱɢɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ G rN ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɜɜɟɪɯ, ɪɚɜɧɨɟ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɦɨɞɭɥɸ
ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ G s 2 . ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɬɨɱɤɚ Ɇ ɧɢɬɢ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɪɢ
ɷɬɨɦ ɜ ɩɨɤɨɟ, ɧɚɯɨɞɢɦ (ɪɢɫ. ɜ)
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