Элементы теории двойственности. Чернышова Г.Д - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
При
0
=
y
имеем 0*)(* ³xfy
T
. Но при этом 0* ³
T
y ,
.0*)(*0*)( £Þ£ xfyxf
T
Следовательно, .0*)(* =xfy
T
2) Перепишем неравенство Sxyxyx
Î
"
F
£
F
*),(*)*,( в виде:
.),(*)(*)(**)( Sxxfyxxfyx
TT
Î"+£+
jj
Поскольку 0*)(* =xfy
T
, то последнее неравенство перепишется сле-
дующим образом:
.),(*)(*)( Sxxfyxx
T
Î"+£
jj
)](*)([min*)( xfyxx
T
Sx
+£
Î
jj
.
Поскольку из доказательства слабой теоремы двойственности извест-
но, что *)(*)( xy
j
w
£
, то *)(*)( yx
w
j
=
.
II. Требуется доказать, что
.0,)(*)(*)(**)(*)(*)( ³Î"+£+£+ ySxxfyxxfyxxfyx
TTT
jjj
По определению двойственной функции верно следующее неравенство:
.)(*)(*)( Sxxfyxy
T
Î"+£
jw
При *xx
=
имеем: *).(**)(*)( xfyxy
T
+£
jw
Поскольку *)(*)( yx
w
j
=
, то 0*)(* ³xfy
T
, но с другой стороны
0* ³
T
y , .0*)(*0*)( £Þ£ xfyxf
T
Следовательно, .0*)(* =xfy
T
Получим, что неравенство *)(*)(*)( xxfyx
T
jj
£+ – верно, поскольку
.0*)( £xfy
T
Неравенство )(*)(*)( xfyxx
T
+£
jj
– верно, поскольку *)(*)( yx
w
j
=
.
Замечание. Из доказательства второй части утверждения теоремы вид-
но, что верно эквивалентное определение седловой точки:
Точка *)*,( yx является седловой, если верно
1) *)*,(*),(min yxyx
Sx
F
=
F
Î
;
2) 0*)(*)( =xfy
T
;
3) 0*)(
£
xf . 
     При           y�0    имеем          y *T f ( x*) � 0 .    Но        при   этом      y *T � 0 ,
f ( x*) � 0 �       y *T f ( x*) � 0. Следовательно, y *T f ( x*) � 0.
     2) Перепишем неравенство � ( x*, y*) � � ( x, y*) �x � S в виде:
                         � ( x*) � y *T f ( x*) � � ( x) � y *T f ( x), �x � S .
     Поскольку y *T f ( x*) � 0 , то последнее неравенство перепишется сле-
дующим образом:
                               � ( x*) � � ( x) � y *T f ( x), �x � S .
                                 � ( x*) � min[� ( x) � y *T f ( x)] .
                                           x�S

     Поскольку из доказательства слабой теоремы двойственности извест-
но, что � ( y*) � � ( x*) , то � ( x*) � � ( y*) .

     II. Требуется доказать, что
          � ( x*) � y T f ( x*) � � ( x*) � y *T f ( x*) � � ( x) � y *T f ( x) �x � S , y � 0.
     По определению двойственной функции верно следующее неравенство:
                     � ( y*) � � ( x) � y *T f ( x) �x � S .
     При x � x * имеем: � ( y*) � � ( x*) � y *T f ( x*).
     Поскольку � ( x*) � � ( y*) , то y *T f ( x*) � 0 , но с другой стороны
y *T � 0 , f ( x*) � 0 �        y *T f ( x*) � 0. Следовательно, y *T f ( x*) � 0.
     Получим, что неравенство � ( x*) � y T f ( x*) � � ( x*) – верно, поскольку
y T f ( x*) � 0.
     Неравенство � ( x*) � � ( x) � y *T f ( x) – верно, поскольку � ( x*) � � ( y*) .

     Замечание. Из доказательства второй части утверждения теоремы вид-
но, что верно эквивалентное определение седловой точки:
     Точка ( x*, y*) является седловой, если верно
     1) min � ( x, y*) � � ( x*, y*) ;
        x�S

     2) ( y*)T f ( x*) � 0 ;
     3) f ( x*) � 0 .




                                                 27

Страницы