ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
Каждый такой организм, как в информационном, так и в энергетическом плане представляет
собой в значительной степени обособленную систему, имеющую свою собственную структуру.
Расчленение живой материи на клетки, органы, организмы, популяции, виды и т.д. соответствует
иерархии управляющих систем. Каждая из этих структурных единиц живой материи управляется
своей автономной системой, воздействующей
на все, что ей подчинено, и в свою очередь
подчиняющейся медленно действующей управляющей системе высшей иерархической единицы.
Следует различать системы управления в отдельном организме и в совокупности организмов
(популяции, виды). В первом случае сложная управляющая система состоит из частей, в свою
очередь являющихся управляющими системами низшего яруса. Во втором случае
имеется
большое количество независимых статистически равноправных систем, взаимодействующих при
случайных встречах и коллективных действиях. Такой способ управления называется А.
Ляпуновым “статистическим”, не является быстродействующим, в отличие от первого
“структурного” способа управления отдельным организмом.
Как следствие получается, что надорганизменные образования (виды) значительно более
устойчивые, чем отдельные организмы.
Рассмотрим взаимосвязь закономерного и
случайного на уровне живой материи на основе
модели совместного существования двух биологических видов (популяций) типа “хищник —
жертва”, называемую моделью Вольтерра — Лотки [37]. Впервые она была получена А. Лоткой
(1925 г.) для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и
независимо от Лотки аналогичная модель была разработана итальянским математиком В.
Вольтерра (1926 г.) в
области экологических проблем. Модель, которую мы рассмотрим,
интересна, пожалуй, как раз тем, что с нее, по существу, и началась математическая экология.
Имеется два биологических вида, которые совместно обитают в изолированной среде. Среда
стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из
видов, который будем называть жертвой. Другой вид
— хищник, который питается лишь особями
первого вида. Назовем их карасями и щуками. Караси и щуки живут в некотором изолированном
пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются
лишь карасями. Обозначим через - у число щук, а через - х число карасей. Со временем число
карасей и щук меняется. Будем
считать совокупность (х,у) состоянием динамической системы и
попробуем написать, как оно меняется со временем. Пусть
x
&
– это скорость изменения
численности карасей. Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше
карасей. Будем считать, что эта зависимость линейная, т е.
x
&
~ε
1
х, причем коэффициент ε
1
зависит
только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости. Аналогично — для
щук. Скорость изменения их числа, если нет карасей, зависит от числа щук, будем считать, что
y
&
~ε
2
y. Если карасей нет, то число щук уменьшается, у них нет пищи, и они вымирают. В
экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать
пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности
особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а
для
щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также
линейной. Тогда получим уравнения [37]
x
&
= ε
1
х – γ
1
yx ;
y
&
= -ε
2
y + γ
2
xy,
где γ
1
и
γ
2
– коэффициенты численности карасей и щук соответственно.
Динамическая система с состоянием (х,у), которое изменяется согласно системе уравнений
(1.30), называется моделью Вольтерра—Лотки.
Построим фазовый портрет системы (1.30). За фазовое пространство возьмем первую четверть
х>0, y>0 плоскости х, у. Умножая первое уравнение (1.30) на γ
2
, второе на γ
1
и складывая, получим
γ
2
x
&
+ γ
1
y
&
= ε
1
γ
2
х - ε
2
γ
1
y. (1.31)
Вновь умножим первое уравнение (1.30) на ε
2
/x, второе на ε
1
/у и сложим; получим
(1.30)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
