Логистика человеко-машинных систем. Чертыковцев В.К. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГУПС | Самара

Составители: 

Рубрика: 

20
ε
2
x
x
&
+
ε
1
y
y
&
=
ε
1
γ
2
х - ε
2
γ
1
y. (1.32)
Вычитая (1.32) из (1.31) и интегрируя, получим уравнение вида
γ
2
x+ γ
1
y- ε
2
lnx – ε
1
lny = const (1.33)
Выражение (1.33) в неявном виде дает уравнение фазовых траекторий. Чтобы их построить,
рассмотрим поверхность
z= γ
2
x+ γ
1
y- ε
2
lnx – ε
1
lny (1.34)
Фазовые траектории являются линиями уровня этой поверхности. Вид этой поверхности
изображен на рис. 1.7,
а. Характерным для нее является то, что z неограниченно возрастает как при
приближении к координатным плоскостям
x=0 и y=0, так и при неограниченном увеличении х и у.
Функция
z(х, у) имеет минимальное значение z* при х=х*, у=у*, являющихся координатами
состояния [58] равновесия системы (1.30).
а
Е
z
y
x
z
=const
б
y
*
D
C
0
х
*
y
x
Р и с. 1.7. Поверхность фазовых траекторий модели Вольтерра-Лотки
а – поверхность фазовых траекторий; б – фазовые траектории системы
Если пересекать поверхность (1.34) плоскостями
z = const, то в пересечении будут получаться
кривые, проекции которых на плоскость
(х,у) являются фазовыми траекториями системы (1.30)
(рис. 1.7,б). Направление движения фазовой точки можно определить из таких соображений.
Пусть мало карасей, т.е.
x=0; тогда из второго уравнения системы (1.30) у<0, (движение фазовой
точки происходит против часовой стрелки).
Фазовый портрет динамической системы содержит одно состояние равновесия — точку О.
Все остальные фазовые траектории — замкнутые, охватывающие состояние равновесия.
Состоянию равновесия отвечает неизменное число
х* и у* карасей и щук в пруду. Караси
размножаются, щуки их едят, вымирают, но число тех и других не меняется. Замкнутым фазовым
траекториям отвечает периодическое изменение численности карасей и щук. Причем то, по какой
кривой движется фазовая точка, зависит от начальных условий. Рассмотрим подробнее, как
меняется состояние вдоль фазовой траектории. Пусть фазовая
точка находится в положении А
(рис. 1.7,б). Здесь мало карасей и много щук. Щукам голодно, они постепенно вымирают и почти
совсем исчезают. Караси при отсутствии щук, увеличивают скорость своего прироста. Так
происходит примерно до точки
В. Но увеличение числа карасей затормаживает процесс
вымирания щук. Они “почувствовали”, что жить можно, пищи достаточно, и число их начинает
расти (участок ВС). Щук стало много, им нужна пища, много пищи. Они едят карасей и почти
всех съедают (участок CD). После чего щуки начинают вымирать и процесс повторяется. Период
его повторения велик
и составляет порядка 5—7 лет. На рис. 1.8 построены кривые изменения
численности карасей и щук в зависимости от времени.

Страницы