Составители:
6
Глава 1. Решение уравнений с одной переменной
Наиболее исследованными являются алгебраические уравнения. Известно,
что уравнение порядка
n
имеет
n
корней с учетом их кратности. Однако
общее аналитическое решение алгебраических уравнений существует лишь
для уравнений не выше четвертого порядка. Решение уравнений первой и
второй степени изучаются в школьном курсе математики. Общее решение
уравнения третьей степени довольно громоздко. Существует также общее
решение уравнения четвертой степеней, однако оно сложно и неудобно для
практического
применения. Теория Галуа утверждает, что для уравнений
выше четвертой степени не существует общего решения в радикалах.
Существуют аналитические решения некоторых типов неалгебраических
уравнений, например, тригонометрических уравнений.
Потребность же в решении уравнений весьма велика. В этих условиях
большое значение приобретают универсальные вычислительные алгоритмы.
В этой главе будут рассмотрены четыре таких алгоритма
.
1.1 Метод половинного деления
Рассмотрим уравнение
0
=
)
x
(
f
. (1)
В курсе анализа доказывается теорема о существовании корня уравнения (1)
для непрерывной функции: Если функция
)
x
(
f
непрерывна на отрезке
[
]
b,a и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке
существует по крайней мере один корень уравнения (1).
Предположим для определенности, что функция
)
x
(
f
принимает на
левом конце отрезка
[
]
b,a отрицательное значение, на правом -
положительное:
00 >
<
)
b
(
f
,
)
a
(
f
. (2)
Тогда, согласно приведенной теореме, на отрезке
[
]
b,a существует корень
c
функции
)
x
(
f
. Возьмем на отрезке
[
]
b,a среднюю точку 2/
)
ab
(
+=ξ
и вычислим в ней значение функции
)
(
f
ξ
. Если 0
=
ξ
)
(
f
, то ξ является
искомым корнем. При
0>ξ
)
(
f
в качестве нового отрезка
[
]
11
b,a
выберем
отрезок
[
]
ξ,a , а при
0)(f <ξ
в качестве нового отрезка
[
]
11
b,a выберем
отрезок
[
]
b,ξ . Новый отрезок
[
]
11
b,a также содержит кореньc , но имеет
вдвое меньшую длину. Повторяя эту процедуру
nраз, мы получаем отрезок
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
