Составители:
7
[
]
nn
b,a , содержащий корень
c
и имеющий длину
n
n
h
h
2
0
= , где
0
h - длина
исходного отрезка
[
]
b,a . Длина отрезка
n
h представляет собой точность
ε
,
с которой мы знаем положение корня на
n-ом шаге процесса половинного
деления. Тогда количество шагов, необходимых для определения корня с
точностью
ε
, можно рассчитать как
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
>
0
2
h
logn
. (3)
Метод половинного деления требует предварительного отделения
корней. Прежде, чем применять этот метод, нам нужно найти интервал
[
]
b,a , содержащий один корень уравнения (1) для функции
)
x
(
f
. Однако,
если функция
)
x
(
f
не только непрерывна, но и дифференцируема, то
дополнительное ее исследование с помощью производной может во многих
случаях решить и этот вопрос. Например, при знакоопределенной
производной, функция
)
x
(
f
является монотонной на отрезке
[
]
b,a ,
поэтому корень у нее может быть только один.
1.2 Метод простых итераций
Приведем уравнение (1) к эквивалентному виду
(
)
xx
ϕ
=
. (4)
Возьмем произвольную точку
0
x
из области определения функции
(
)
xϕ и
будем строить последовательность чисел
{
}
n
x , определенных с помощью
рекуррентной формулы
(
)
nn
xx
ϕ
=
+1
. (5)
Последовательность
{
}
n
x
называется итерационной. На рис.1 (а - d)
представлены примеры применения этого алгоритма. Из рассмотренных
примеров видно, что, если абсолютное значение производной
1<ϕ
′
, то
итерационный процесс сходится к корню
c
уравнения (4). При 1>ϕ
′
итерационный процесс расходится. Сходимость является монотонной при
0>ϕ
′
и немонотонной при 0
<
ϕ
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
