Составители:
9
Рис. 1d. Расходящийся итерационный процесс при
1−<ϕ
′
В наших примерах мы рассмотрели случай, когда функция
ϕ имеет
производную постоянного знака. Условие сходимости итерационного
процесса в общем случае дает следующая теорема.
Теорема о сходимости метода простых итераций. Пусть
c - корень
уравнения (4) и пусть функция
(
)
x
ϕ
удовлетворяет на отрезке
[
]
δ
+
δ− c,c
условию Липшица с константой
1
<
L , т.е.:
[
]
δ+δ−
∈
∀
−
≤
ϕ−ϕ=− c,cx,xxxL)x()x(yy
21121212
. (6)
Тогда при любом выборе
0
x на отрезке
[
]
δ+
δ
−
c,c существует
бесконечная итерационная последовательность
{
}
n
x (5), сходящаяся к
корню уравнения (4)
cx = , причем этот корень является единственным на
отрезке
[
]
δ
+δ− c,c .
Заметим, что условие Липшица (6) будет заведомо выполнено, если
функция
(
)
xϕ имеет на отрезке
[
]
δ
+
δ
−
c,c непрерывную производную
(
)
xϕ
′
, модуль которой меньше единицы:
(
)
1
<
≤
ϕ
′
mx . В этом случае
согласно формуле конечных приращений Лагранжа будем иметь
()
121212
xxm)xx(yy
−
≤
−
ξϕ
′
=− . (7)
Мы получили неравенство (6) с константой Липшица
m
L
=
.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Число
c является корнем
уравнения (4), так что
(
)
cc ϕ= . Возьмем произвольную точку
0
x на отрезке
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
