Составители:
10
[
]
δ+δ− c,c . Она отстоит от точки c не больше чем на
δ
: δ≤− cx
0
.
Вычислим
)x(x
01
ϕ= . При этом будем иметь
δ
≤
−
≤
ϕ
−
ϕ=
−
LcxL)c()x(cx
001
. (8)
Неравенство (8) показывает, что точка
1
x принадлежит отрезку
[
]
δ+δ− c,c и расположена ближе к корню c, чем
0
x .
Продолжим построение итерационной последовательности. Вычислим
(
)
12
xx ϕ= . При этом
()
(
)
δ≤−≤−≤ϕ−ϕ=−
2
0
2
112
LcxLcxLcxcx .
Точка
2
x тоже принадлежит отрезку
[
]
δ
+
δ
−
c,c и расположена ближе к
точке
c, чем
1
x . На второй итерации мы опять приблизились к c.
По индукции легко доказать, что все последующие итерации удовлетворяют
неравенствам
δ≤−≤−
nn
n
LcxLcx
0
. (9)
Отсюда следует, что
(
)
0
=
−
∞→
cxlim
n
n
, т.е. cxlim
n
n
=
∞→
. (10)
Нам остается доказать, что корень
cx
=
является единственным решением
уравнения (4) на отрезке
[
]
δ
+
δ
− c,c . Предположим, что существует еще
один корень
1
cx = :
(
)
δ
+
≤
≤
δ
−
ϕ
= ccc,cc
111
. (11)
Примем
1
c за нулевое приближение и будем строить итерационную
последовательность. С учетом (11) получим
,...,,n,cx
n
210
1
=
=
. С
другой стороны, по доказанному
cxlim
n
n
=
∞→
, т.е. cc
=
1
. Таким образом,
никаких других решений, кроме
cx
=
, уравнение (4) на рассматриваемом
отрезке не имеет.
Центральная идея метода простых итераций - сжимающие ото-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
