Вычислительные методы в технологиях программирования. Элементы теории и практикум. Чивилихин С.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12
Рис.2. Построение последовательности
{
}
n
x по методу касательных
Продолжая этот процесс, получаем последовательность
{
}
n
x , определенную
с помощью рекуррентной формулы
(
)
()
n
n
nn
xf
xf
xx
′
−=
+1
. (13)
Условие сходимости итерационного процесса дает следующая теорема.
Теорема о сходимости метода касательных. Пусть
c
- корень уравнения
(1) - является внутренней точкой отрезка
[
]
b,a , а функция
(
)
x
f
дважды
непрерывно дифференцируема на данном отрезке, причем ее производные
удовлетворяют неравенствам
()
(
)
[
]
b,ax,Mxf,mxf
∈
≤
′
′
>≥
′
0 . (14)
Тогда найдется такое
0>δ , что при любом выборе начального
приближения
0
x на отрезке
[
]
+
−
c,c существует бесконечная
итерационная последовательность (13) и эта последовательность сходится к
корню c .
В силу предположения о дифференцируемости функции
(
)
x
f
и неравенстве
нулю ее производной уравнение (1) эквивалентно на отрезке
[
]
b,a
уравнению
(
)
xx
ϕ
=
, (15)
где
()
(
)
()
xf
xf
xx
′
−=ϕ
, так что корень
c
x
=
исходного уравнения является
одновременно корнем уравнения (15). Исследуем возможность отыскания
этого корня с помощью метода простых итераций.
Вычислим и оценим производную функции
(
)
x
ϕ
:
(
)
(
)
()()
2
xf
xfxf
)x(
′
′
′
=ϕ
′
, (16)

Страницы