Составители:
Интегрируя по частям, находим
∫∫
=−==
−−−
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
|
e
dxexedxxeI
xxx
∫∫
−
−−−
−=−==
1
0
1
1
1
0
12
1
0
12
2
212
|
n
xxx
IdxxeexdxexI
……………………………………………………
∫∫
−=−==
−−−−
1
0
1
11
1
0
1
1
0
1
2
1
|
nIdxexnexdxexI
xnxnxn
.
Пользуясь полученным рекуррентным соотношением, вычисляем
I
1
= 367879, I
6
= 0,127120,
I
2
= 0,263242, I
7
= 0,110160,
Iз = 0,207274, I
8
= 0,118720,
I
4
= 0,170904, I
9
= -0,0684800.
I
5
= 0,145480,
Значение интеграла I
9
не может быть отрицательным, поскольку подынтегральная функция на всем отрезке
интегрирования [0, 1] неотрицательна. Исследуем источник погрешности. Видим, что округление в I
1
дает
погрешность, равную примерно лишь 4.4*10
-7
. Однако на каждом этапе эта погрешность умножается на
число, модуль которого больше единицы (-2, -3, ..., -9), что в итоге дает 9. Это и приводит к результату, не
имеющему смысла. Здесь снова причиной накопления погрешностей является алгоритм решения задачи,
который оказался неустойчивым.
Численный алгоритм (метод) называется корректным в случае существования и единственности численного
решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно
погрешностей исходных данных.
4. Понятие сходимости. При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших, критериев
является сходимость численного метода. Она означает близость получаемого численного решения задачи к
истинному решению. Строгие определения
разных оценок близости могут быть даны лишь с
привлечением аппарата функционального анализа. Здесь мы ограничимся некоторыми понятиями
сходимости, необходимыми для понимания последующего материала.
Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения
некоторой задачи и нахождения искомого значения определяемого параметра (например, корня нелинейного
уравнения) строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого
процесса (или итераций) получаем последовательность значений x
1
, x
2
, ..., х
п
. Говорят, что эта
последовательность сходится к точному решению х = а, если при неограниченном возрастании числа
итераций предел этой последовательности существует и равен а
:
ax
n
n
=
∞→
lim
. В этом случае имеем
сходящийся численный метод.
Другой подход к понятию сходимости используется в методах дискретизации. Эти методы заключаются в
замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функций вычисляются в
фиксированных точках. Это относится, в частности, к численному интегрированию, решению
дифференциальных уравнений и т. п. Здесь под сходимостью метода понимается стремление значений
решения дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении
к нулю параметра дискретизации (например, шага интегрирования).
При рассмотрении сходимости важными понятиями являются ее вид, порядок и другие характеристики. С
общей точки зрения эти понятия рассматривать нецелесообразно; к ним будем обращаться при изучении
численных методов.
Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть
корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.
§ 3. Сложение и вычитание приближенных чисел
1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме
абсолютных погрешностей слагаемых: если
S=a
1
+a
2
+ ... +а
п
, то
12
... .
n
Saa a
∆ =∆ +∆ + +∆
(1.3)
При большом количестве слагаемых оценка абсолютной погрешности суммы по формуле (1.3) оказывается
сильно завышенной, так как обычно происходит частичная компенсация погрешностей разных знаков.
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
