Составители:
отношениями
a
a
∆
и
0
a
a
∆
сказывается только на втором знаке погрешности, что не существенно.
П РИМЕР 1.3. Определить относительную погрешность числа S в примере 1.1.
Решение. S = 20,7426,
S
∆
= 0,0926, поэтому
0,0926 926
0,0045 0,45%.
20,7426 207426
S
δ
= = = =
Во многих технических приложениях принято характеризовать точность приближенных чисел их
относительной погрешностью.
Относительная погрешность приближенного числа связана с количеством его верных знаков. Количество
верных знаков числа отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его
абсолютной погрешности: например, число S = 20,7426 с абсолютной погрешностью
S
∆
= 0,0926 имеет три
верных знака (2, 0, 7); остальные знаки — сомнительные.
Ориентировочно можно считать, что наличие только одного верного знака соответствует относительной
погрешности порядка 10%, двух верных знаков — погрешности порядка 1%, трех верных знаков —
погрешности порядка 0,1% и т. д.
В математических таблицах все числа округлены до верных знаков, причем абсолютная погрешность не
превосходит половины единицы последнего оставленного разряда. Например, если в таблице указано е=2,718,
то абсолютная погрешность не превосходит 0,5-10
-3
.
В окончательных результатах вычислений обычно оставляют, кроме верных, один сомнительный знак.
В промежуточных результатах вычислений обычно сохраняют два-три сомнительных знака, чтобы не
накапливать лишних погрешностей от округлений.
П РИМЕР 1.4. Округлить число S = 20,7426 в примере 1.1 до верных знаков.
Решение. Так как в числе S три верных знака, то естественно записать S=20,7.
Однако при этом к абсолютной погрешности
∆
S
=0,0926 приходится добавить еще величину 0,0426,
отброшенную при округлении. Новая абсолютная погрешность
∆
S
= 0,136 заставляет считать сомнительным
уже третий знак числа S, и, следовательно, число 5 приходится округлять до двух знаков:
S=21 (
∆
S
= 0,44 < 0,5).
Этот пример показывает, что округление результатов расчета до верных знаков не всегда целесообразно.
Примечание. В этом примере, как это обычно принято, применено правило дополнения при округлении: если
первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.
ЗАДАЧИ
1. Округляя следующие числа до трех значащих цифр, определить абсолютную
∆
и относительную
δ
погрешности полученных приближенных чисел.
а) 2,1514, б) 0,16152, в) 0,01204, г) 1,225, д) -0,0015281, е) -392,85, ж) 0,1545, з) 0,003922, и) 625,55, к) 94,525.
2. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их относительным
погрешностям.
а) a=13267,
δ
=0,1%, б) a=2,32,
δ
= 0,7%, в) a = 35,72,
δ
= 1%, г) a =0,896,
δ
=10%, д) a= 232,44,
δ
=1%.
3. При измерении некоторых углов получили числа
1
α
= 21°37'3",
2
α
= 45°,
3
α
=1°10",
4
α
= 75°20'44".
Определить относительные погрешности чисел
1
α
,
2
α
,
3
α
,
4
α
, полагая абсолютную погрешность измерения
равной 1".
4. Определить количество верных знаков в числе х, если известна его абсолютная погрешность.
а)
0,3941x =
,
2
0,25 10
x
−
∆= ⋅
б)
x
= 0,1132,
3
0,1 10
x
−
∆= ⋅
, в)
38,2543
x
∆=
,
2
0,27 10
x
−
∆= ⋅
,
г)
x
= 293,481,
x
∆
= 0,1, д)
x
= 2,325,
1
0,1 10
x
−
∆= ⋅
, е)
x
= 14,00231,
3
0,1 10
x
−
∆= ⋅
,
ж) х = 0,0842,
2
0,15 10
x
−
∆= ⋅
, з) х = 0,00381,
4
0,1 10
x
−
∆= ⋅
, и)
32,285x = −
,
2
0,2 10
x
−
∆= ⋅
,
к)
0,2113x = −
,
2
0,5 10
x
−
∆= ⋅
.
5.Определить количество верных знаков в числе а, если известна его относительная погрешность.
а)
1,8921a =
,
2
0,1 10
a
δ
−
= ⋅
б)
0,2218a =
,
1
0,2 10
a
δ
−
= ⋅
, в)
22,351a =
,
0,15
a
δ
=
,
г)
0,02425a =
,
2
0,5 10
a
δ
−
= ⋅
, д)
0,000135a =
,
0,15
a
δ
=
, е)
9,3598a =
,
0,1%
a
δ
=
,
ж)
0,11452a =
,
10%
a
δ
=
, з)
48361
a =
,
1%
a
δ
=
, и)
592,8a =
,
2%
a
δ
=
, к)
14,9360a =
,
1%
a
δ
=
.
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
