Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

д) x = 0,45,
x
Δ
= 0,5·10
-2
, е) х = 1,115,
3
0,1 10x
−
Δ= ⋅
.
2. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях х и указать абсолютную и
относительную погрешности результатов.
а)
3
sinyx x= при
2x =
, полагая
2 1, 414≈
,
б)
lnyxx=
при
x
π
=
, полагая
3,142
π
≈
,
в)
cos
x
ye x= при
3x =
, полагая
3 1,732≈
.
3. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях переменных. Указать
абсолютную и относительную по грешности результатов, считая все знаки исходных данных верными.
а)
2
12
ln( )uxx=+
,
1
0,97x = ,
2
1,132x
=
,
б)
2
12
3
x
x
u
+
=
,
1
3, 28x
=
,
2
0,932x = ,
3
1,132x
=
,
в)
12 13 23
uxx xx xx=++,
1
2,104x = ,
2
1,935x
=
,
3
0,845x
=
.
4. Определить относительную погрешность при вычислении полной поверхности усеченного конуса, если
радиусы его оснований R и г и образующая /, измеренные с точностью до 0,01 см, равны
R
=23,64 см,
r
=17,31 см,
l
=10,21 см.
§ 6. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности
функции
Эта задача имеет однозначное решение только для функции одной переменной ()yfx= : если эта функция
дифференцируема и
'( ) 0fx≠
, то
1
'( )
x
y
fx
Δ
=Δ
(1.21)
Для функции нескольких переменных y=f(x
l,
х
2
, ..., х
п
) задача решается только при введении каких-либо
дополнительных ограничений. Например, если значение одного из аргументов значительно труднее измерить
или вычислить с большой точностью, чем значения остальных аргументов, то погрешность именно этого
аргумента надо согласовать с требуемой погрешностью функции.
Если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то обычно
применяют принцип равных влияний, считая, что в формуле (4.12)!!!(в источнике ссылается на формулу,
которая 1.19)!!!! все слагаемые
i
x
i
f
dx
∂
Δ
равны между собой; это дает формулу
i
y
x
i
f
n
dx
Δ
Δ=
∂
( 1, 2, ..., )in
=
(1.22)
На практике часто встречаются задачи промежуточного типа между указанными крайними случаями. Мы
рассмотрим соответствующие примеры.
П
РИМЕР 1.12. С какой точностью следует измерить угол х в первой четверти, чтобы получить значение sinx
с пятью верными знаками?
Решение. Если известно, что угол х > 6°, так что sin x > 0,1, то надо определить
x
Δ
так, чтобы
выполнялось неравенство
5
sin
0,5 10
x
−
Δ< ⋅
. Для этого в соответствии с формулой (1.17) достаточно взять
5
0,5 10
x
−
Δ< ⋅
, т. е. измерить угол х с точностью до 1". Если, сверх того, известно, что угол х > 60° и, значит,
cos х < 0,5, то стоит воспользоваться формулой (1.21), откуда
55
sin
1
20,510 10
cos
xx
x
−−
Δ= Δ > ⋅ ⋅ =
,
т. е. достаточно измерить угол х с точностью всего до 2".
Но если угол х < 6°, например, 1° < х < 6°, то 0,01 < sin x < 0,1 и для обеспечения пяти верных знаков в
значении sin л: придется обеспечить неравенство
6
sin
0,5 10
x
−
Δ< ⋅
, для чего придется измерять угол х с
точностью до 0,1".
П
РИМЕР 1.13. С какой точностью следует определить радиус основания R и высоту Н цилиндрической
банки, чтобы ее вместимость можно было определить с точностью до 1%?
Решение. В формуле
2
VRH
π
=
число я можно взять с любым числом верных знаков, так что его
погрешность не скажется на результате, и поэтому можно считать
2
VRH
δ
δδ
=
+ . Если можно обеспечить

Страницы