Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

погрешность.
Решение. Вычислим сначала абсолютную погрешность
sin
x
по формуле (1.17) для этого надо еще
перевести 1' в радианы: 1'=0,000291 — и подсчитать
sin
cos cos 25 20' 0,4279
xx
xΔ= ⋅Δ= =
Поэтому для вычисления sin(x) надо взять четырехзначные таблицы тригонометрии ческих функций, что дает
sin х = sin 25°20' = 0,4279.
2.
Функции нескольких переменных. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции
12
(, ,... )
n
yfxx x= , вызываемая достаточно малыми погрешностями
1
x
Δ
,
2
x
Δ
, ...,
n
x
Δ
аргументов х
1
,
х
2
, ..., х
n
, оценивается величиной
4, 4 2,10y ==
(1.19)
Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка
1
1
1
1ln
i
n
n
yx
i
i
i
f
f
f
xx
δ
=
=
∂∂
=Σ Δ =
∂∂
∑
(1.20)
П РИМЕР 1.10. Вычислить значение функции u = xy
2
z
3
, если
37,1x
=
,
9,87y
=
,
6, 052z =
,
причем
0,3
x
Δ=
,
0,11
y
Δ=
,
0,016
z
Δ=
.
Решение. Здесь относительные погрешности аргументов равны
3
0,81%
371
x
δ
==
,
11
1,12%
987
y
δ
==
,
16
0,26%
6052
z
δ
==
.
Относительная погреишость функции равна
233,8%
ux y z
δδδ
=
++=
;
поэтому значение функции следует вычислять не более чем с двумя-тремя знаками:
3
801 10u
=
⋅
(нельзя писать 801 000, это имело бы другой смысл). Абсолютная погрешность при этом составляет
33
801 10 0,038 30 10
uu
u
δ
Δ= = ⋅ ⋅ = ⋅
.
Здесь целесообразно округлить результат до двух знаков:
5
8, 0 10u
=
⋅ ,
5
0,3 10
u
Δ
=⋅
.
П
РИМЕР 1.11. Вычислить значение
ln(10,3 4, 4)z =+
, считая верными все знаки приближенных
чисел х=10,3 и у==4,4.
Решение. Число у имеет относительную погрешность
0,5
1, 2%
44
y
δ
==
, поэтому
y
имеет относительную
погрешность 0,6% и его следует записать с тремя знаками:
4, 4 2,10y ==
;
при этом абсолютная погрешность этого корня равна
2,10 0,006 0,013
y
Δ
=⋅ =
.
Абсолютная погрешность суммы
10,3 2,10 12, 4xy+= + =
оценивается величиной 0,05 + 0,013 = 0,063,
ее относительная погрешность равна
0, 63
0,5%
124
=
.
По формуле (1.15) такова же будет абсолютная погрешность натурального логарифма, т. е.
0, 005
z
Δ
=
.
Поэтому
ln(10,3 2,10) ln12, 40 2,517z =+= =
.
Здесь результат имеет три верных знака; округление до верных знаков нецелесообразно, так как при этом
надо писать значение
z
Δ
с учетом погрешности округления:
2,52z
=
,
0,008
z
Δ
=
.
ЗАДАЧИ
1. Углы х измерены с предельной абсолютной погрешностью
x
Δ
.Определить абсолютную и относительную
погрешности функций y = sinx, у = cosx и y=tgx. Найти по таблицам значения функций,
сохранив в результате лишь верные цифры.
а)
11 20'x =
,
1'
x
Δ=
, б) х = 48°42'31",
x
Δ
= 5", в) х = 45°,
1'
x
Δ
=
, г) х = 50°10',
x
Δ
= 0,05°,

Страницы