Составители:
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1.ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ ........................................................................................................................................................4
§ 1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности ..........................................................4
§ 2. Устойчивость. Корректность. Сходимость ........................................................................................................6
§ 4. Умножение и деление приближенных чисел.....................................................................................................8
§ 5. Погрешности вычисления значений функции ...................................................................................................9
§ 6. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.....................12
Глава 2 . ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ..............................................................................................15
§ 1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера........................................................................................15
§ 2. Вычисление значений некоторых трансцендентных функций с помощью степенных рядов.....................16
§ 3. Некоторые многочленные приближения..........................................................................................................22
§ 4. Применение цепных дробей для вычисления значений трансцендентных функций...................................24
§ 5. Применение метода итераций для приближённого вычисления значений функций...................................26
Глава 3 . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ......................................................33
§ 1. Уравнения с одним неизвестным. Метод деления пополам. Метод хорд. Метод касательной. Метод
простой итерации. .....................................................................................................................................................33
§2. Действительные и комплексные корни алгебраических уравнений...............................................................40
§3 Системы уравнений. Метод простой итерацию. Метод Ньютона. ..................................................................41
Глава 4 . ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТРИЦ И МНОГОМЕРНЫХ МАССИВОВ НА ЯЗЫКАХ ВЫСОКОГО
УРОВНЯ.....................................................................................................................................................................45
§ 1. Представление матриц и многомерных массивов на языках C, C++.............................................................45
§ 2. Представление матриц и многомерных массивов на языке Pascal ................................................................46
§ 3. Пример приведения матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса на языке С.........................................47
Глава 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ................................................................................52
§1.Прямые методы. Метод Гаусса. Метод главных диагоналей. Определитель и обратная матрица. Метод
прогонки.....................................................................................................................................................................56
§2. Итерационные методы. Уточнение решения. Метод простой итерации. Метод Гаусса-Зейделя................63
§3. Задачи на собственные значения. Метод вращений. Трехдиагональные матрицы.......................................69
Глава 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ...................................................................................................................76
§1.Точечная аппроксимация. Равномерное приближение.....................................................................................76
§2. Многочлены Чебышева. Вычисление многочленов. Рациональные приближения. .....................................77
§3. Интерполирование. Линейная и квадратичная интерполяция. Многочлен Лагранжа. Многочлен Ньютона.
Кубические сплайны. Точность интерполяции. .....................................................................................................83
§4.Аппроксимация. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы. Локальное сглаживание данных.
.....................................................................................................................................................................................90
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ..............................................................................97
§1.Численное дифференцирование. Аппроксимация производных. Погрешность численного
дифференцирования. Использование интерполяционных формул. Метод неопределнных коэффициентов.
Частные производные. ..............................................................................................................................................97
§2. Интегрирование. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона. Метод сплайнов.
Адаптивные алгоритмы. Кратные интегралы. Метод Монте-Карло ..................................................................102
Глава 8 . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..........................................................111
§1 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностные методы.............................111
§2. Задача Коши. Одношаговые методы – метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера, метод Рунге-
Кутта. Многошаговые методы - метод Адамса, метод Милна...........................................................................113
§3 Краевые задачи.Метод стрельбы. Метод конечных разностей. .....................................................................125
Глава 9 . ОПТИМИЗАЦИЯ ....................................................................................................................................129
§ 1. Задача оптимизации. Постановка задачи. ......................................................................................................129
§ 2. Одномерная оптимизация. Задачи на экстремум. Методы поиска. Метод золотого сечения...................130
§ 3. Многомерная оптимизация. Минимум функции нескольких переменных. Метод покоординатного спуска.
Метод градиентного спуска....................................................................................................................................135
§ 4. Задачи с ограничением. Метод штрафных функций. Линейное программирование. Геометрический метод.
Симплекс метод.......................................................................................................................................................138
Глава 10 . БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ...........................................................................................148
§1. Дискретное преобразование Фурье .................................................................................................................148
Вывод преобразования............................................................................................................................................148
Матричное представление......................................................................................................................................149
Свойства...................................................................................................................................................................149
§2. Алгоритм быстрого преобразования Фурье....................................................................................................150
2.2 Обратное преобразование Фурье .....................................................................................................................150
2.3 Общий случай....................................................................................................................................................150
2.4 Принцип работы Быстрого преобразования Фурье........................................................................................151
