Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ
§ 1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности
Расчеты, как правило, производятся с приближенными значениями величин — приближенными числами. Уже
исходные данные для расчета обычно даются с некоторыми погрешностями; в процессе расчета еще
накапливаются погрешности от округления, от применения приближенных формул и т. п. Разумная оценка
погрешности при вычислениях позволяет указать оптимальное количество знаков, которые следует сохранять
при расчетах, а также в окончательном результате.
Погрешность приближенного числа а, т. е. разность а — а
0
между ним и точным значением а
0
, обычно
неизвестна.
Под оценкой погрешности приближенного числа а понимают установление неравенства вида
0 a
aa
−
≤Δ
(1.1)
Число
a
Δ называется абсолютной погрешностью приближенного числа а (иногда употребляют термин
«предельная абсолютная погрешность»). Это число определяется неоднозначно: его можно увеличить.
Обычно стараются указать, возможно, меньшее число
a
Δ
, удовлетворяющее неравенству (1.1).
Абсолютные погрешности записывают не более чем с двумя-тремя значащими цифрами (при подсчете числа
значащих цифр не учитывают нулей, стоящих слева; например, в числе 0,010030 имеется 5 значащих цифр). В
приближенном числе а не следует сохранять те разряды, которые подвергаются округлению в его абсолютной
погрешности
a
Δ .
П РИМЕР 1.1. Длина и ширина комнаты, измеренные с точностью до 1 см, равны a = 5,43 м и b = 3,82 м.
Оценить погрешность в определении площади комнаты S = ab = 20,7426 м
2
.
Решение. По условию задачи
a
Δ
= 0,01 м, 0,
b
Δ
= 0,01 м.
Крайние возможные значения площади равны
(а + 0,01) (b + 0,01) = 20,8352 м
2
,
(а — 0,01) (b — 0,01) = 20,6502 м
2
;
сравнивая их с подсчитанным выше значением S, получаем оценку
|S - S
0
|
≤
0,0926,
что дает возможность указать абсолютную погрешность числа S в виде
S
Δ
= 0,0926 м
2
.
Здесь разумно округлить значение
S
Δ
, например, так:
S
Δ
=0,093 м
2
при
S
Δ =0,10 м
2
(абсолютные
погрешности округляют в большую сторону). При этом приближенное значение площади можно записать в
виде S = 20,743 м
2
, или S = 20,74 м
2
, или даже S = 20,7 м
2
.
П РИМЕР 1.2. В некоторую вычислительную машину мы можем ввести числа только с тремя значащими
цифрами. С какой точностью мы можем ввести в нее числа
π
и 1/3?
Решение. Полагаем
π
≈
3,14=а вместо
π
= 3,141592..., погрешность числа а можно оценить числом
a
Δ =0,0016. Полагаем 1/3
≈
0,333=b; погрешность числа b можно оценить числом
b
Δ =0,00034 или
b
Δ =0,0004.
Относительной погрешностью
0,0926 926
0,0045 0,45%.
20,7426 207426
S
δ
====
приближенного числа а назы-
вается отношение его абсолютной погрешности
a
Δ
к абсолютной величине числа а, т. е.
a
a
Δ
(1.2)
(0)a ≠
. Относительная погрешность обычно выражается в процентах, и ее принято записывать не более чем с
двумя-тремя значащими цифрами (знаками).
Иногда под относительной погрешностью понимают
отношение,
0
a
a
Δ
, где a
0
— точное (но
неизвестное) значение числа; если относительная погрешность числа а не превышает 5%, то различие между

Страницы