Составители:
Глава 6
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
§1.Точечная аппроксимация. Равномерное приближение.
1.1 Точечная аппроксимация.
Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем:
для данной функции
y=f(x) (6.1)
строим многочлен (6.1), принимающий в заданных точках х те же значения y
i
, что и функция f(x), т.е
i=0,1,....,n.
Рисунок 6.1
При этом предполагается, что среди значений x
i
нет одинаковых, т.е.
ki
xx
≠
при
ki ≠
.
Точки x
i
называются узлами интерполяции, а многочлен
)(x
ϕ
- интерполяционным многочленом.
Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения
совпадают на заданной системе точек (рисунок 6.1, сплошная линия).
Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n, в этом случае говорят о глобальной
интерполяции, поскольку один многочлен
n
n
xaxaax +++= ...)(
10
ϕ
(6.2)
используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х.
Коэффициенты a
i
многочлена находятся из системы (6.2). Можно показать, что при
ki
xx ≠
)( ki
≠
эта
система имеет единственное решение.
Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала
изменения х. В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.
Как правило интерполяционные многочлены используется для аппроксимации функции в промежуточных
точках между крайними узлами интерполяции, т.е. при
n
xxx
<
<
0
. Однако они используются и для
приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка (x < x
0
, x > x
n
). Это приближение
называют экстраполяцией.
При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена
через данные значения функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия
затруднительно или даже нецелесообразно.
Например, при большом числе узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (6.2) в случае
глобальной интерполяции, т.е. когда нужно иметь
один интерполяционный многочлен для всего интервала
изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать
ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика
через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях
ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена
, график которого
проходит близко от данных точек (рисунок 6.1, штриховая линия). Понятие «близко» уточняется при
рассмотрении разных видов приближения.
Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (6.1). При
этом
nm ≤ ; случай m=n соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий
многочлен как можно меньшей степени (как правило, m=1, 2. 3).
Мерой отклонения многочлена
)(x
ϕ
от заданной функции f(x) на множестве точек (x
i
,y
i
) (i=0,1, 2, …, n) при
среднеквадратичном приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
