Составители:
Нули (корни) многочленов Чебышева на отрезке [-1,1] определяются формулой
π
n
k
x
k
2
12
cos
−
=
, k=1,2,…,n.
Они расположены неравномерно на отрезке и сгущаются к его концам.
Вычисляя экстремумы многочлена Чебышева по обычным правилам (с помощью производных), можно найти
его максимумы и минимумы:
)/cos( nkx
k
π
=
, k=1,2,…,n-1.
В этих точках многочлен принимает поочередно значения T
n
(x
k
)=-(+)1, т.е. все максимумы равны 1, а
минимумы -1. На границах отрезка значения многочленов Чебышева равны –(+)1.
Многочлены Чебышева широко используются при аппроксимации функций. Рассмотрим их применение для
улучшения приближения функций с помощью степенных рядов, а именно для более равномерного
распределения погрешностей аппроксимации по заданному отрезку [-
π/2, π/2].
Отрезок [-
π/2, π/2] является не совсем удобным при использовании многочленов Чебышева, поскольку они
обычно рассматриваются на стандартном отрезке [-1,1]. Первый отрезок легко привести ко второму заменой
переменной x на
π/2. В этом случае ряд для аппроксимации синуса на отрезке [-1,1]примет вид:
...)
2
(
!5
1
)
2
(
!3
1
22
sin
52
−+−=
xxxx
π
π
π
π
(6.7)
При использовании этого ряда погрешность вычисления функции в окрестности концов отрезка x=
1
±
существенно возрастает и становится значительно больше, чем в окрестности точки х=0. Если вместо (6.6)
использовать ряд
...,)()()
2
sin(
22110
+++= xTcxTcc
x
π
Рисунок 6.2
члены которого являются многочлены Чебышева, то погрешность будет распределена по всему отрезку
(рисунок 6.2). В частности при использовании многочленов Чебышева до девятой степени включительно
погрешность находится в интервале (-5÷5)*10
-9
. Причем погрешность ряда Тейлора для этой задачи на
концах отрезка составляет 4*10
-6
.
Нахождение коэффициентов ряда Чебышева довольно сложно и здесь рассматриваться не будет. На практике
часто используют многочлены Чебышева для повышения точности аппроксимации функций с помощью ряда
Тейлора.
Пусть частичная сумма ряда Тейлора, представленная в виде многочлена, используется для приближения
функции f(x) на стандартном отрезке [—1, 1], т. е.
n
n
xaxaaxf +++≈ ...)(
10
(6.8)
Если рассматриваемый отрезок [a, b] отличается от стандартного, то его всегда можно привести к
стандартному заменой переменной
2
22
x
abba
t
−
+
+
=
.11
≤
≤
−
x
Многочлен Чебышева Т
n
(х) можно записать в виде
.2...)(
12
210
nn
n
xxbxbbxT
−
++++=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
