Составители:
Отсюда получаем
)(2)...(2
11
110
1
xTxbxbbx
n
nn
n
nn −−
−
−
++++−=
(6.9)
Если отбросить последний член, то допущенную при этом погрешность
Δ
легко оценить:
n−
≤Δ
1
2
,
поскольку
1)( ≤xT
n
. Таким образом, из (6.8) получаем, что x
n
есть линейная комбинация более низких
степеней х. Подставляя эту линейную комбинацию в (6.7), приходим к многочлену степени n- 1 вместо
многочлена степени n. Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока погрешность не превышает
допустимого значения.
Используем эту процедуру для повышения точности аппроксимации функции с помощью ряда (6.5). Будем
учитывать члены ряда до 11-й
степени включительно. Вычисляя коэффициенты при степенях x, получаем
64.05707963.1)
2
sin( −≈ x
x
π
596410x
3
+0.79692626x
5
–
0.0046817541x
7
+ 0.00016044118x
9
– 0.0000035988432x
11
(6.10)
Многочлен Чебышевa 11-й степени имеет вид
Т
11
= 1024х
11
– 2816х
9
+ 2816х
7
– 1232х
5
+ 220х
3
– 11х.
Выразим отсюда х
11
через более низкие степени:
х
11
=2-10 (11х – 220х
3
+ 1232х
5
– 2816х
7
+2816х
9
+ Т
11
).
Подставляя в (6.10) вместо х
11
правую часть этого равенства и вычисляя новые значения коэффициентов,
получаем:
11
97
53
10000000035.060001505443.00046718573.0
079688296.064596332.05707962.1)
2
sin(
Тхх
ххx
x
−+
−+−≈
π
(6.11)
Отбрасывая последний плен этого разложения, мы допускаем погрешность
9
1051.3
−
⋅≤Δ
. Из-за
приближенного вычисления коэффициентов при степенях х реальная погрешность больше. Здесь она
оценивается величиной
9
108
−
⋅≤Δ
.Эта погрешность немного больше, чем для многочлена Чебышева
(5*10
−9
), и значительно меньше, чем для ряда Тейлора (4*10
-6
).
Процесс модификации приближения можно продолжить. Если допустимое значение погрешности больше,
чем при использовании выражения (6.12) (без последнего члена с Т
11
), то х
9
можно заменить многочленом
седьмой степени, а член с Т
9
отбросить; так продолжать до тех пор, пока погрешность остается меньше
допустимой.
В заключение приведем некоторые формулы, необходимые при использовании многочленов Чебышева.
1. Многочлены Чебышева:
[]
),arccoscos()1()1(
2
1
(x)
22
xnxxxxT
nn
n
=−−+−+=
)()(2)(
11
хТххТхT
nnn −+
−=
, n=1,2,…,
,1)(
0
=
хТ
,)(
1
ххТ
=
,12)(
2
2
−= ххТ
,34)(
3
3
хххТ −=
,188)(
24
4
+−= хххТ
,52016)(
35
5
ххххТ +−=
,1184832)(
246
6
−+−= ххххТ
,75611264)(
357
7
хххххТ −+−=
,132160256128)(
2468
8
+−+−= хххххТ
,15040011201280512)(
245810
10
−+−+−= ххххххТ
,112201232281628161024)(
356911
11
хххххххТ −+−+−=
2. Представление степеней х через многочлены Т
n
(х):
01
0
1 Тx ==
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
