Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

i
n
iiii
y
n
nttt
y
tt
ytythxN Δ
+
−
−
++Δ
−
+Δ+=+
!
)1)...(1(
...
!2
)1(
)(
2
(6.35 )
i=0,1,…
Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования
вперед.
Интерполяционную формула (6.35) обычно используют для вычисления значений функции в точках левой
половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим. Разности
yi
k
Δ вычисляются через
значения функций y
i
, y
i+1
,…,y
i+k
причем i+k
≤
n; поэтому при больших значениях i мы не можем вычислить
разности высших порядков (
ink −≤
). Например, при i=n-3 в (6.35) можно учесть только yyy
32
,, ΔΔΔ .
Для первой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае
t=(x-x
n
)/h (6.36)
т.е. t<0, и интерполяционный многочлен можно получить в виде
02
2
1
!
)1)...(1(
...
!2
)1(
)( y
n
nttt
y
tt
ytythxN
n
nnnn
Δ
−+
+
++Δ
+
+Δ+=+
−−
(6.37)
Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования
назад.
Рассмотрим пример применения интерполяционной формулы Ньютона при ручном счете.
Пример. Вычислить в точках х=0.1, 0.9 значения функции у=f(x), заданной таблице 6.1.
Процесс вычислений удобно свести в ту же Таблица 6.1. Каждая последующая конечная разность получается
путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.
Таблица 6.1
X Y
y
Δ
y
2
Δ y
3
Δ y
4
Δ y
5
Δ
0 1.2715 1.1937 -0.0146 0.0007 -0.0001 0.0000
0.2 2.4652 1.1791 —0.0139 0.0006 —0.0001
0.4 3.6443 1.1652 —0.0133 0.0005
0.6 4.8095 l.f519 —0.0128
0.8 5.9614 1.1391
1.0 7.1005
При ч=0.1 имеем t=(x-x
0
)/h=(0.1-0)/0.2=0.5 По формуле получим
.8702.1000004.000004.0
59685.02715.1)0001.0(
!4
)35.0)(25.0)(15.0(5.0
0007.0
!3
)25.0)(15.0(5.0
)0146.0(
!2
1)-.5(0.50
1937.15.02715.1)1.0()1.0(
=++
++=−⋅
−−
−
+⋅
−−
+
+−⋅+⋅+=≈ Nf
Для сравнения по формуле линейной интерполяции получаем
.8684.1)1.0(
≈
f
Значение функции в точке х=0.9. t=(x-x
n
)/h=(0.9-1)/0.2=-0.5. Тогда
5325.6
0000004.000003.00016.05696.01005.7)0001.0(
!4
)35.0)(25.0)(15.0(5.0
0005.0
!3
)25.0)(15.0(5.0
)0128.0(
!2
1)5(-0.5.0
1391.15.01005.7)9.0()9.0(
=
=+−+−=−
⋅
+−+−+−
−
−⋅
+−+
−
−−⋅
+
−⋅−=≈ Nf
Мы рассмотрели построение интерполяционного многочлена Ньютона для равноотстоящих узлов. Можно
построить многочлен Ньютона и для произвольно расположенных узлов, как и в случае многочлена
Лагранжа.
В заключении отметим, что разные способы построения многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные

Страницы