Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Введем также понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах x
i
: y
i
=f(x
i
).
Составим разности значений функции:
),()(
0000
xfhxfyyy −+=−=Δ
)()2(
00121
hxfhxfyyy
+
−
+
=
−
=
Δ ,
………………………………………..
))1(()(
0011
hnxfnhxfyyy
nnn
−
+
−
+
=
−
=Δ
−−
.
Эти значения называют первыми разностями ( или разностями первого порядка) функции.
Можно составить вторые разности функции:
010
2
yyy Δ−Δ=Δ
,
121
2
yyy Δ−Δ=Δ , …
Аналогично составляются разности порядка k:
i
k
i
k
i
k
yyy
1
1
1 −
+
−
Δ−Δ=Δ
, i=0, 1, …,n-1.
Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Например,
0120112010
2
2)()( yyyyyyyyyy +−=−−−=Δ−Δ=Δ
,
01230
2
1
2
0
3
33... yyyyyyy −+−==Δ−Δ=Δ
.
Аналогично для любого k можно написать
0210
)1(...
!2
)1(
yy
kk
kyyy
k
kkk
k
−++
−
+−=Δ
−−
(6.31)
Эту формула можно записать и для значения разности в узле x
i
:
i
k
ikikki
k
yy
kk
kyyy )1(...
!2
)1(
211
−++
−
+−=Δ
−+−++
.
Используя конечные разности, можно определить y
k
:
00
2
00
...
!2
)1(
yy
kk
ykyy
k
k
Δ++Δ
−
+Δ+=
(6.32)
Перейдем к построению интерполяционного многочлена. Ньютона. Этот многочлен будем искать в
следующем виде:
))...()((...))(()()(
110102010 −
−−
−
+
+
−
−
+
−+
=
nn
xxxxxxaxxxxaxxaaxN (6.33)
График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е.
ii
yxN
=
)( (i=0, 1,…,n). Эти условия
используем для нахождения коэффициентов многочлена:
000
)( yaxN
=
=
,
11001101
)()( yhaaxxaaxN
=
+
=
−
+
=
,
2
2
2101202202102
22))(()()( yhahaaxxxxaxxaaxN =++=−−+−+=
Найдем отсюда коэффициенты а
0
, а
1
, а
2
:
00
ya
=
,
h
y
h
yy
h
ay
a
00101
1
Δ
=
−
=
−
=
,
2
0
2
2
002
2
102
2
22
2
2
2
h
y
h
yyy
h
haay
a
Δ
=
Δ−−
=
−−
=
.
Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид
k
h
k
hk
y
a
!
0
Δ
=
, k=0, 1, …, n.
Подставляя эти выражения в формулы (6.33), получаем следующий вид интерполяционного многочлена
Ньютона:
))...()((
!
...))((
!2
)()(
11010
2
0
2
0
0
0 −
−−−
Δ
++−−
Δ
+−
Δ
+=
n
n
n
n
xxxxxx
hn
y
xxxx
h
y
xx
h
y
yxN
(6.34)
Конечные разности
0
y
k
Δ
могут быть вычислены по формуле (6.31).
Интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в виде

Страницы