Составители:
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
=
−
−
ii
i
ii
i
xx
xx
yy
yy
.
Отсюда
ii
bxay
+
=
,
ii
xxx
≤
≤
−1
(6.22)
,
1
1
−
−
−
−
=
ii
ii
i
xx
yy
a
,
11 −−
−
=
iiii
xayb .
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который
попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (6.21) и найти приближенное значении е
функции в этой точке.
Рассмотрим теперь случай квадратичной интерполяции. В качестве интерполяционной функции на отрезке [x
i-
1
, x
i+1
] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.
Уравнение квадратного трехчлена
iii
cxbxay ++=
2
,
11 +−
≤
≤
ii
xxx (6.23)
Содержит три неизвестных коэффициента a
i
, b
i
, c
i
, для определения которых необходимо три уравнения. Ими
служат условия прохождения параболы (6.22_через три точки (x
i-1
, y
i-1
), (x
i
, y
i
), (x
i+1
, y
i+1
). Эти условия можно
записать в виде
11
2
1 −−−
=++
iiiiii
ycxbxa
,
iiiiii
ycxbxa =++
2
(6.24)
11
2
1 +++
=++
iiiiii
ycxbxa
Алгоритм вычисления приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяций можно
представить в виде блок-схемы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (6.21) нужно
использовать (6.22) с учетом решения системы линейных уравнений (6.23). Интерполяция для любой точки
[]
n
xxx ,
0
∈
проводится по трем ближайшим к ней узлам.
ПРИМЕР. Найти приближенное значение функции y = f(x) при х = 0.32, если известна следующая таблица ее
значений:
x 0.15 0.30 0.40 0.55
y 2.17 3.63 5.07 7.78
Воспользуемся сначала формулой линейной интерполяции (6.22)
ii
bxay
+
=
,
ii
xxx ≤≤
−1
(6.22). Значение Х = 0.32 находится между узлами x
i
= 0.30 и x
i
= 0.40. В этом случае
4.14
30.040.0
63.307.5
1
1
=
−
−
=
−
−
=
−
−
ii
ii
i
xx
yy
a
,
69.030.04.1463.3
11
−
=
⋅
−
=
−
=
−− iiii
xayb ,
92.369.032.04.1469.04.14
=
−
⋅
=
−
≈ xy
.
Найдем теперь приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (6.22).
Составим систему уравнений (6.23) с учетом ближайших к точке х= 0.32 узлов: x
i-1
=0.15, x
i
=0.30, x
i+1
=0.40.
Соответственно y
i-1
= 2.17, у
i
= 3.63, y
i+1
=5.07. Система (6.24) запишется в виде
17.215.015.0
2
=++
iii
cbа
,
63.330.030.0
2
=++
iii
cbа
,
07.540.040.0
2
=++
iii
cbа
.
Решая эту систему, находим
67.18
=
i
а
,
33.1
=
i
b
,
55.1
=
i
c
. Искомое значение функции
89.355.132.033.132.067.18
2
=+⋅+⋅≈y
3.2Многочлен Лагранжа.
Перейдем к случаю глобальной интерполяции, т. е. построению интерполяционного многочлена, единого для
всего отрезка [x
0
, x
n
]. При этом, естественно, график интерполяционного многочлена должен проходить через
все заданные точки.
Запишем искомый многочлен в виде
n
n
xахаах +++= ...)(
10
ϕ
(6.25)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
