Дифференциальное исчисление. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

30 §6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ
206. ax + by − xy = c;
207. x
m
y
n
= 1;
208. x
2
− y
2
= a
2
;
209. (x − α)
2
+ (y − β)
2
= R
2
;
210. arctg y = x + y;
211. x
2
+ xy + y
2
= a
2
.
§6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ
6.1. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ
0
0
. ðÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉ-
ÔÁÌÑ
âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ
f(x)
g(x)
ÐÒÉ x → a ÅÓÔØ ÎÅ-
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
, ÅÓÌÉ
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0.
òÁÓËÒÙÔØ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ¡ ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→a
f(x)
g(x)
, ÅÓÌÉ
ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É g(x)
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ a. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ,
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 É g
0
(x) 6= 0
× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
(ËÏÎÅÞ-
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ lim
x→a
f(x)
g(x)
, ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ÆÏÒÍÕÌÁ
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. æÏÒÍÕÌÁ (ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ) ÏÓÔÁ¾ÔÓÑ ×ÅÒÎÏÊ É × ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ x → a−, x → a+, x → ∞, x → +∞ É x → −∞.
ðÒÉÍÅÒ 1.
lim
x→4
x
2
− 16
x
2
− 5x + 4
=
0
0
= lim
x→4
(x
2
− 16)
0
(x
2
− 5x + 4)
0
= lim
x→4
2x
2x − 5
=
8
3
.
ðÒÉÍÅÒ 2.
lim
x→0
e
x
− 1
x
=
0
0
= lim
x→0
(e
x
− 1)
0
x
0
= lim
x→0
e
x
1
= lim
x→0
e
x
= 1.
30                      §6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ

     206.   ax + by − xy = c;
     207.   xmy n = 1;
     208.   x 2 − y 2 = a2 ;
     209.   (x − α)2 + (y − β)2 = R2 ;
     210.   arctg y = x + y;
     211.   x2 + xy + y 2 = a2 .

§6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ
6.1. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 00 . ðÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉ-
     ÔÁÌÑ
                                                           f (x)
  âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ               g(x)    ÐÒÉ x → a ÅÓÔØ ÎÅ-
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 , ÅÓÌÉ
                               lim f (x) = lim g(x) = 0.
                               x→a         x→a

   òÁÓËÒÙÔØ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ¡ ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim fg(x)
                                                             (x)
                                                                 , ÅÓÌÉ
                                                       x→a
ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
   óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x)
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ a. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ,
                        lim f (x) = lim g(x) = 0 É g 0 (x) 6= 0
                       x→a           x→a
× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
                                                               0
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim fg0(x)(x)
                                                                     (ËÏÎÅÞ-
                                                                       x→a
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ         lim fg(x)
                                                           (x)
                                                               ,
                                                       ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
                                                     x→a
ÆÏÒÍÕÌÁ
                              f (x)       f 0 (x)
                          lim       = lim 0 .
                          x→a g(x)    x→a g (x)

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. æÏÒÍÕÌÁ (ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ) ÏÓÔÁ¾ÔÓÑ ×ÅÒÎÏÊ É × ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ x → a−, x → a+, x → ∞, x → +∞ É x → −∞.
   ðÒÉÍÅÒ 1.
              x2 − 16                (x2 − 16)0
                          
                          0                               2x     8
        lim 2          =     = lim 2              = lim        =   .
        x→4 x − 5x + 4    0    x→4 (x − 5x + 4)0    x→4 2x − 5   3
     ðÒÉÍÅÒ 2.
                   ex − 1             (ex − 1)0       ex
                             
                             0
               lim        =     = lim           = lim    = lim ex = 1.
               x→0    x      0    x→0     x0      x→0 1    x→0

Страницы