Дифференциальное исчисление. - 32 стр.

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МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

32 §6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ
× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
(ËÏÎÅÞ-
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ lim
x→a
f(x)
g(x)
, ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ÆÏÒÍÕÌÁ
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ×ÅľÎÎÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
∞
∞
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
0
0
. úÁÍÅÞÁÎÉÑ, ÏÔ-
ÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
0
0
ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ
ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ.
ðÒÉÍÅÒ 6.
lim
x→∞
6x
2
− 11
5x
2
+ 4
=
h
∞
∞
i
= lim
x→∞
(6x
2
− 11)
0
(5x
2
+ 4)
0
= lim
x→∞
12x
10x
=
12
10
=
6
5
.
ðÒÉÍÅÒ 7.
lim
x→+∞
ln x
x
=
h
∞
∞
i
= lim
x→+∞
(ln x)
0
x
0
= lim
x→+∞
1/x
1
= lim
x→+∞
1
x
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 8.
lim
x→+∞
x
100
e
x
=
h
∞
∞
i
= lim
x→+∞
x
100
0
(e
x
)
0
= lim
x→+∞
100 · x
99
e
x
=
h
∞
∞
i
=
= lim
x→+∞
100 · x
99
0
(e
x
)
0
= lim
x→+∞
100 · 99 · x
98
e
x
=
h
∞
∞
i
=
= lim
x→+∞
100 · 99 · 98 · x
97
e
x
= . . . = lim
x→+∞
100!
e
x
= 0.
6.3. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 0 · ∞ É ∞ − ∞
îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0·∞ É ∞−∞ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÑÍ
×ÉÄÁ
0
0
É
∞
∞
.
ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ lim
x→0+
x ln x.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ôÁË ËÁË x ln x =
ln x
1/x
, ÔÏ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
∞
∞
. ðÒÉÍÅÎÑÑ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ,
ÉÍÅÅÍ
lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
(ln x)
0
(1/x)
0
= lim
x→0+
1/x
−1/x
2
= − lim
x→0+
x = 0.
32                  §6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ

× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
                                                               0
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim fg0(x)(x)
                                                                     (ËÏÎÅÞ-
                                                                x→a
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ      lim fg(x)
                                                        (x)
                                                            ,
                                                         ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
                                                  x→a
ÆÏÒÍÕÌÁ
                              f (x)        f 0 (x)
                          lim        = lim 0 .
                          x→a g(x)     x→a g (x)
                                                                         ∞
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ×ÅľÎÎÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ ∞
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 00 . úÁÍÅÞÁÎÉÑ, ÏÔ-
ÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 00 ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ
ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ.
   ðÒÉÍÅÒ 6.
            6x2 − 11 h ∞ i          (6x2 − 11)0         12x 12 6
        lim         =       =  lim               =  lim    =    = .
       x→∞ 5x2 + 4     ∞      x→∞ (5x2 + 4)0       x→∞ 10x   10 5
     ðÒÉÍÅÒ 7.
              ln x h ∞ i       (ln x)0        1/x        1
          lim     =      = lim         =  lim     =  lim   = 0.
         x→+∞ x      ∞    x→+∞   x0      x→+∞ 1     x→+∞ x

     ðÒÉÍÅÒ 8.
                                 0
      x100 h ∞ i            x100             100 · x99 h ∞ i
  lim     =      = lim              = lim               =         =
 x→+∞ ex     ∞    x→+∞ (ex )0         x→+∞       ex         ∞
                              0
                   100 · x99              100 · 99 · x98 h ∞ i
           = lim                 = lim                   =          =
             x→+∞    (ex )0         x→+∞        ex              ∞
                                    100 · 99 · 98 · x97                100!
                         = lim                          = . . . =  lim      = 0.
                             x→+∞           ex                    x→+∞ ex


6.3. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 0 · ∞ É ∞ − ∞

  îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0·∞ É ∞−∞ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÑÍ
×ÉÄÁ 00 É ∞
          ∞
            .
  ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ lim x ln x.
                       x→0+
                                                                ln x
  òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ôÁË ËÁË x ln x = 1/x   , ÔÏ
                                    ∞
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞ . ðÒÉÍÅÎÑÑ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ,
ÉÍÅÅÍ
                            (ln x)0         1/x
           lim x ln x = lim       0
                                    = lim        = − lim x = 0.
          x→0+         x→0+ (1/x)     x→0+ −1/x2    x→0+

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