Дифференциальное исчисление. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ 33
ðÒÉÍÅÒ 10.
lim
x→0+
√
x ln x = [0 · ∞] = lim
x→0+
ln x
x
−1/2
=
h
∞
∞
i
= lim
x→0+
(ln x)
0
x
−1/2
0
=
= lim
x→0+
1/x
(−1/2)x
−3/2
= −2 lim
x→0+
√
x = 0.
ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ lim
x→
π
2
1
cos x
− tg x
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞ − ∞. ôÁË ËÁË
1
cos x
− tg x =
1
cos x
−
sin x
cos x
=
1 − sin x
cos x
,
ÔÏ ÐÒÉ ÔÏÍ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÉ x →
π
2
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÐÅÒ×ÙÍ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ ìÏÐÉÔÁÌÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
lim
x→
π
2
1
cos x
− tg x
= lim
x→
π
2
1 − sin x
cos x
= lim
x→
π
2
−cos x
−sin x
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 12.
lim
x→1
1
ln x
−
1
x − 1
= [∞ − ∞] = lim
x→1
x − 1 − ln x
(x −1) ln x
=
0
0
=
= lim
x→1
1 −
1
x
ln x + (x − 1)
1
x
= lim
x→1
x − 1
x ln x + x − 1
=
0
0
= lim
x→1
1
ln x + 1 + 1
=
1
2
.
6.4. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 0
0
, 1
∞
É ∞
0
îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0
0
, 1
∞
É ∞
0
ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÆÕÎË-
ÃÉÊ ×ÉÄÁ y = f(x)
g(x)
, ÅÓÌÉ ÐÒÉ x → a ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ Ë 0, 1 É ∞, Á ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 0, ∞ É 0.
üÔÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
f(x)
g(x)
= e
g(x) ln f(x)
Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0 · ∞.
ðÒÉÍÅÒ 13. îÁÊÔÉ lim
x→0+
x
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0
0
. ôÁË ËÁË x
x
= e
x ln x
, ÔÏ ×
ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅ ÓÔÅÐÅÎÉ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 ·∞, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓÓÍÏ-
ÔÒÅÎÁ × ÐÒÉÍÅÒÅ 9. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
e
x ln x
= e
lim
x→0+
x ln x
= e
0
= 1.
§6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ                           33

  ðÒÉÍÅÒ 10.
      √                       ln x   h∞i          (ln x)0
  lim x ln x = [0 · ∞] = lim −1/2 =        = lim         =
 x→0+                   x→0+ x         ∞    x→0+ x−1/2 0

                                              1/x                 √
                                   = lim              =   −2  lim  x = 0.
                                     x→0+ (−1/2)x−3/2        x→0+

  ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ limπ cos1 x − tg x .
                                     
                        x→ 2
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞ − ∞. ôÁË ËÁË
                      1             1      sin x   1 − sin x
                         − tg x =       −        =           ,
                   cos x          cos x cos x        cos x
ÔÏ ÐÒÉ ÔÏÍ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÉ x → π2 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 . ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÐÅÒ×ÙÍ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ ìÏÐÉÔÁÌÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                             
                    1                  1 − sin x        − cos x
           limπ         − tg x = limπ            = limπ         = 0.
           x→ 2   cos x           x→ 2   cos x     x→ 2 − sin x

  ðÒÉÍÅÒ 12.
                                                       
       1       1                         x − 1 − ln x     0
 lim       −          = [∞ − ∞] = lim                 =      =
 x→1 ln x     x−1                    x→1 (x − 1) ln x     0
              1 − x1
                                                   
                                     x−1            0              1       1
   = lim                1 = lim                =      = lim               = .
     x→1 ln x + (x − 1)     x→1 x ln x + x − 1      0    x→1 ln x + 1 + 1  2
                        x


6.4. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 00, 1∞ É ∞0

   îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 00 , 1∞ É ∞0 ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÆÕÎË-
ÃÉÊ ×ÉÄÁ y = f (x)g(x), ÅÓÌÉ ÐÒÉ x → a ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ Ë 0, 1 É ∞, Á ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 0, ∞ É 0.
   üÔÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
                               f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0 · ∞.
   ðÒÉÍÅÒ 13. îÁÊÔÉ lim xx .
                        x→0+
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00. ôÁË ËÁË xx = ex ln x , ÔÏ ×
ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅ ÓÔÅÐÅÎÉ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓÓÍÏ-
ÔÒÅÎÁ × ÐÒÉÍÅÒÅ 9. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                                                 lim x ln x
                  lim xx = lim ex ln x = ex→0+                = e0 = 1.
                 x→0+          x→0+

Страницы