Дифференциальное исчисление. - 35 стр.

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МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ 35
ôÁË ËÁË x → 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ Å¾
Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
∞
∞
, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ É
×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÅÒ×ÙÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÅÌÏÍ:
lim
x→0
ln y(x) = lim
x→0
(−sin x ln x) = −lim
x→0
ln x
1
sin x
=
h
∞
∞
i
=
= − lim
x→0
1
x
−
cos x
sin
2
x
= lim
x→0
sin
2
x
x cos x
=
0
0
= lim
x→0
1
cos x
·
sin x
x
· sin x
=
= lim
x→0
1
cos x
· lim
x→0
sin x
x
· lim
x→0
sin x = 1 · 1 · 0 = 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
lim
x→0
y(x) = lim
x→0
e
ln y(x)
= e
lim
x→0
ln y(x)
= e
0
= 1.
éÔÁË, lim
x→0
1
x
sin x
= 1.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÐÒÅÄÅÌ:
212. lim
x→0
sin 7x
sin 3x
;
213. lim
x→π
sin 7x
tg 5x
;
214. lim
x→0
3x−sin 3x
x
3
;
215. lim
x→0
tg x−sin x
x−sin x
;
216. lim
x→
π
4
tg x−1
sin 4x
;
217. lim
x→0
tg x−1+cos 3x
e
x
−e
−x
;
218. lim
x→0
e
x
−e
−x
−2x
sin x−x
;
219. lim
x→0
x−arctg x
x
3
;
220. lim
x→
π
6
1−2 sin x
cos 3x
;
221. lim
x→1
x
3
−3x+2
x
3
−x
2
−x+1
;
222. lim
x→0
tg x−x
x−sin x
;
223. lim
x→0
tg 2x−2x
x
3
;
224. lim
x→0
e
−3x
−e
sin x
x
;
225. lim
x→+∞
x
5
e
3x
;
§6. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ                                    35

ôÁË ËÁË x → 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ Å¾
                            ∞
Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ ∞      , Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ É
×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÅÒ×ÙÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÅÌÏÍ:
                                             ln x h ∞ i
  lim ln y(x) = lim(− sin x ln x) = − lim 1 =               =
  x→0           x→0                     x→0
                                             sin x
                                                       ∞
                   1               2                                        
                   x           sin x        0               1     sin x
       = − lim cos x = lim             =         = lim          ·       · sin x =
            x→0 − 2      x→0 x cos x        0       x→0 cos x       x
                  sin x
                                           1          sin x
                                  = lim         · lim       · lim sin x = 1 · 1 · 0 = 0.
                                     x→0 cos x x→0 x          x→0
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                                                     lim ln y(x)
                          lim y(x) = lim eln y(x) = ex→0           = e0 = 1.
                          x→0         x→0
               1 sin x
                 
éÔÁË, lim      x          = 1.
       x→0


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÐÒÅÄÅÌ:
           sin 7x
  212. lim sin 3x ;
          x→0
               sin 7x
   213. lim             ;
          x→π tg 5x
   214.   lim 3x−sin x3
                          3x
                             ;
          x→0
   215.   lim tg x−sin x ;
          x→0 x−sin x
   216.   limπ tgsinx−1
                     4x ;
          x→  4

   217. lim tg x−1+cos
                ex −e−x
                        3x
                           ;
          x→0
                  x
                −e−x −2x
   218. lim e              ;
          x→0 sin x−x
   219.   lim x−arctg
                  x 3
                       x
                         ;
          x→0
   220.   limπ 1−2
                cos
                   sin x
                    3x ;
          x→  6
                      3
   221. lim x3x−x−3x+2
                  2 −x+1 ;
          x→1
            tg x−x
   222. lim x−sin x;
          x→0
   223. lim tg 2x−2x
                x3   ;
          x→0
                  −esin x
                  −3x
   224. lim e     x       ;
          x→0
                  5
   225.    lim ex3x ;
          x→+∞

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