Моделирование технических систем. Дьячков Ю.А - 181 стр.

чащих цифр) не является вариантом решения данной проблемы. В
литературе приводится множество иллюстрирующих это положение
примеров.
     Пример 1. Считается, что формула разложения синуса угла в
ряд Тейлора годится для любого конечного угла, а ошибка при
ограничении ряда конечным числом членов не превосходит по мо-
дулю первого отброшенного члена ряда:
                sin(x) = x – x3/3! + x5 / 5!–x7/7!+ ... .
      Однако для больших углов этот ряд совершенно бесполезен.
Так, для угла 1470° при вычислении с восемью значащими цифрами
(теоретическая ошибка меньше 10–8) выдаваемый машиной резуль-
тат равен 24,25401855. Он содержит большое число десятичных
знаков и лишен всякого смысла. Даже если производить вычисления
с 16 значащими цифрами, вместо синуса 2550° машина выдаст чис-
ло 29,5.
      Пример 2. В данном примере источник ошибок заложен в фи-
зической природе модели. Рассматривается система уравнений:
                           5х – 331у = 3,5;
                           6x – 397у = 5,2.
      «Точное» решение системы (х = 331,7, у = 5,000) может быть
найдено вручную с любым нужным числом значащих цифр. Оценка
числа достоверных значащих цифр дает следующие результаты. Если
константу в правой части второго уравнения изменить на 2 %
(с 5,2 до 5,1), то решение системы изменяется на 10 % (х = 298,6,
у = 4,5). Еще более поразительный результат получается при под-
становке в уравнения значений х = 358,173 и у = 5,4. При округле-
нии вычисленные значения левых частей дадут те же самые правые
части, что и в исходной системе уравнений. В этом случае можно
считать, что величины х и у имеют не более одной достоверной зна-
чащей цифры.
      В данном примере неточность результата не зависит от числа
значащих цифр, все вычисления были проведены точно. Причина
неточностей – малая величина определителя системы уравнений.
Геометрически это означает, что две линии, представленные ука-
занными уравнениями, почти параллельны.
      3. Ошибка округления. Этот тип ошибок можно рассмотреть
на следующем примере. Следует сложить два точных числа на ма-
шине с пятью значащими цифрами: 9,2654 и 7,1625. Сумма 16,4279

                                  181