Физика. Часть 3. Колебания и волны. Волновая оптика. Дымченко Н.П - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

42
электрического контура, сумма падений напряжений на отдельных участках ре-
ального контура состоит из падения напряжения на конденсаторе
c
U и падения
напряжения на активном сопротивлении контура
R
U
:
cRs
UU
ε
+=
. (2.10)
Воспользуемся выкладками, приведенными для гармонических электро-
магнитных колебаний. Падение напряжения на конденсаторе
c
q
U
C
=
, ЭДС
самоиндукции, возникающая в катушке индуктивности, равна
s
dI
dt
ε =−
. Па-
дение напряжения на активном сопротивлении
R
UIR
=
.
Подставляя эти значения в (2.10), получим:
qdI
IRL
Cdt
+=−
. (2.11)
Учитывая, что сила тока есть производная заряда по времени:
dq
I
dt
=
, а
вторая производная заряда по времени – это производная силы тока по времени
2
2
dIdq
dtdt
=
, уравнение (2.11) можно переписать в виде:
2
2
qdqdq
RL
Cdtdt
+=−
, или
2
2
0
dqdqq
LR
dtdtC
++=
.
Разделив последнее уравнение на L, получим:
2
2
1
0
dqRdq
q
dtLdtLC
++=
. (2.12)
Введем обозначения:
2
0
1
LC
ω = ,
2
R
L
β
=
. (2.13)
Тогда уравнение (2.12) примет вид:
2
2
0
2
20
dqdq
q
dtdt
βω
++=
. (2.14)
Уравнение (2.14) с точностью до обозначения аналогично уравнению
(1.47), которое описывает собственные затухающие механические колебания.
Как и следует из электромеханических аналогий, вместо координаты х в нем
стоит заряд q. Уравнение (2.14) является дифференциальным уравнением зату-
хающих электромагнитных колебаний. Решением дифференциального
уравнения (2.14) относительно величины q для случая, когда выполняется ус-
ловие
22
0
ωβ
, является функция, аналогичная (1.48):
(
)
0
()cos
t
qtqet
β
ωα
−
=⋅+
, (2.15)
где по-прежнему (см. 1.49)
22
0
ωωβ
=−
. 
электрического контура, сумма падений напряжений на отдельных участках ре-
ального контура состоит из падения напряжения на конденсаторе U c и падения
напряжения на активном сопротивлении контура U R :
                                UU cRs+=   ε .                         (2.10)
     Воспользуемся выкладками, приведенными для гармонических электро-
                                                                   q
магнитных колебаний. Падение напряжения на конденсаторе U c = , ЭДС
                                                                   C
                                                                    dI
самоиндукции, возникающая в катушке индуктивности, равна ε s =− L . Па-
                                                                    dt
дение напряжения на активном сопротивлении UIR= R  .
     Подставляя эти значения в (2.10), получим:
                             qdI
                               +=−
                                 IRL           .                            (2.11)
                             Cdt
                                                                      dq
    Учитывая, что сила тока есть производная заряда по времени: I =       , а
                                                                       dt
вторая производная заряда по времени – это производная силы тока по времени
dIdq 2
    =     , уравнение (2.11) можно переписать в виде:
 dtdt 2
                                      2              2
                     qdqdq                         dqdqq
                        +=−
                          RL            2
                                           , или LR    2
                                                         ++= 0.
                     Cdtdt                         dtdtC
      Разделив последнее уравнение на L, получим:
                                2
                               dqRdq             1
                                  2
                                    ++=             q 0.               (2.12)
                               dtLdtLC
      Введем обозначения:
                                          1 R
                                ω02 =        , = 2β .                   (2.13)
                                        LC L
      Тогда уравнение (2.12) примет вид:
                               2
                              dqdq
                                 2
                                   ++=
                                    20βω           2
                                                   0   q     .              (2.14)
                              dtdt
     Уравнение (2.14) с точностью до обозначения аналогично уравнению
(1.47), которое описывает собственные затухающие механические колебания.
Как и следует из электромеханических аналогий, вместо координаты х в нем
стоит заряд q. Уравнение (2.14) является дифференциальным уравнением зату-
хающих электромагнитных колебаний. Решением дифференциального
уравнения (2.14) относительно величины q для случая, когда выполняется ус-
ловие ωβ 0 >
         22
              , является функция, аналогичная (1.48):
                                           =⋅+0
                                       qtqet
                                        ()cos              −βt
                                                                 (ωα   ),   (2.15)
где по-прежнему (см. 1.49) ωωβ
                            =−   22
                                 0         .

                                      42

Страницы