Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 272 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

272
0
)(
)(
EI
zEI
f =
ξ
,
где
0
EI
- изгибная жесткость в каком-либо сечении, например, при 0=
ξ
. В безразмерной
форме дифференциальное уравнение (16.1) имеет вид
[]
IIIIII
ccRF
fd
d
)()(
)(
1
22211100
2
2
ξξηξξηξη
ξξ
η
−−−−+−= .
Для использования стандартных программ интегрирования дифференциальное
уравнение (16.4) второго порядка представим в виде системы двух дифференциальных
уравнений первого порядка
ϑ
ξ
η
=
d
d
,
[]
IIIIII
ccRF
fd
d
)()(
)(
1
22211100
ξξηξξηξη
ξξ
ϑ
−−−−+−= .
На левом конце стержня (0
=
ξ
) 0
=
η
а )0(
ϑ
и
0
R
- неизвестны (это начальные
параметры). Они находятся из условия равенства нулю перемещения и угла поворота на
правом краю (
1=
ξ
) – в заделке. Поскольку уравнения, входящие в систему (16.5) линейные,
то перемещение и угол поворота на правом конце стержня
)1(
η
и )1(
ϑ
линейно зависят от
начальных параметров )0(
ϑ
и
0
R на левом конце
,)0()1(
01211
Raa
+
=
ϑ
η
02221
)0()1( Raa
+
=
ϑ
ϑ
.
Поскольку
0)1( =
η
и 0)1( =
ϑ
, то
,0Ra)0(a
01211
=
+
ϑ
.0Ra)0(a
02221
=
+
ϑ
Для того, чтобы система уравнений (16.7) имела нулевые решения, ее определить
должен быть равен нулю
.0
2221
1211
==∆
aa
aa
Из этого условия определяется критическая сила. Необходимо отметить, что в задачах
устойчивости сами начальные параметры
)0(
ϑ
и
0
R остаются неопределенными.
Для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (16.5)
используется метод Рунге-Кутта. Вначале задается некоторое значение осевой силы F,
которая должна быть заведомо меньше искомой. Эту силу можно определить, отбросив
промежуточные опоры и приняв изгибную жесткость постоянной по длине стойки и равной
ее наименьшему значению. После этого интегрируется система уравнений (16.5) при
начальных условиях 1)0( =
ϑ
и 0
0
=R , в результате чего находятся коэффициенты
11
a и
21
a
системы (16.6). Далее повторно интегрируется система уравнений (16.5), но уже при
начальных условиях 0)0( =
ϑ
и 1
0
=
R , и находятся коэффициенты
12
a
и
22
a
. Затем
вычисляется определитель
системы уравнений (16.7). Если определитель не равен нулю,
то осевая сила F увеличивается на некоторую величину
F
∆
, после чего вновь вычисляется
определитель
. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено то значение
осевой силы, при которой определитель равен нулю. Это и есть искомая критическая сила.
16.2. Описание программы
Ниже в п.16.2.1 приведена программа вычисления критической нагрузки,
реализующая данный метод. В программе принято, что стойка имеет постоянную изгибную
(16.3)
(16.4)
(16.5
)
(16.7) 
                                                           EI ( z )
                                                f (ξ ) =            ,                       (16.3)
                                                            EI 0
где EI 0 - изгибная жесткость в каком-либо сечении, например, при ξ = 0 . В безразмерной
форме дифференциальное уравнение (16.1) имеет вид
                        d 2η
                        dξ 2
                             =
                                  1
                                     [
                                f (ξ )
                                                                                   ]
                                       − F0η + R0ξ I −c1η1 (ξ − ξ1 ) II −c2η 2 (ξ − ξ 2 ) III . (16.4)
      Для использования стандартных программ интегрирования дифференциальное
уравнение (16.4) второго порядка представим в виде системы двух дифференциальных
уравнений первого порядка
                                                     dη
                                                         =ϑ ,
                                                     dξ
                                                                                                 (16.5
                        dϑ
                         dξ
                             =
                                 1
                               f (ξ )
                                     [                                             ]
                                       − F0η + R0ξ I −c1η1 (ξ − ξ1 ) II −c2η 2 (ξ − ξ 2 ) III .  )
      На левом конце стержня ( ξ = 0 ) η = 0 а ϑ (0) и R0 - неизвестны (это начальные
параметры). Они находятся из условия равенства нулю перемещения и угла поворота на
правом краю ( ξ = 1 ) – в заделке. Поскольку уравнения, входящие в систему (16.5) линейные,
то перемещение и угол поворота на правом конце стержня η (1) и ϑ (1) линейно зависят от
начальных параметров ϑ (0) и R0 на левом конце
                                            η (1) = a11ϑ (0) + a12 R0 ,
                                            ϑ (1) = a21ϑ (0) + a22 R0 .
      Поскольку η (1) = 0 и ϑ (1) = 0 , то
                                           a11ϑ( 0 ) + a12 R0 = 0 ,
                                                                                            (16.7)
                                           a21ϑ( 0 ) + a22 R0 = 0.
       Для того, чтобы система уравнений (16.7) имела нулевые решения, ее определить
должен быть равен нулю
                                               a    a12
                                           ∆ = 11        = 0.
                                               a 21 a 22
       Из этого условия определяется критическая сила. Необходимо отметить, что в задачах
устойчивости сами начальные параметры ϑ (0) и R0 остаются неопределенными.
       Для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (16.5)
используется метод Рунге-Кутта. Вначале задается некоторое значение осевой силы F,
которая должна быть заведомо меньше искомой. Эту силу можно определить, отбросив
промежуточные опоры и приняв изгибную жесткость постоянной по длине стойки и равной
ее наименьшему значению. После этого интегрируется система уравнений (16.5) при
начальных условиях ϑ (0) = 1 и R0 = 0 , в результате чего находятся коэффициенты a11 и a21
системы (16.6). Далее повторно интегрируется система уравнений (16.5), но уже при
начальных условиях ϑ (0) = 0 и R0 = 1 , и находятся коэффициенты a12 и a22 . Затем
вычисляется определитель ∆ системы уравнений (16.7). Если определитель не равен нулю,
то осевая сила F увеличивается на некоторую величину ∆F , после чего вновь вычисляется
определитель ∆ . Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено то значение
осевой силы, при которой определитель равен нулю. Это и есть искомая критическая сила.

                                         16.2. Описание программы

      Ниже в п.16.2.1 приведена программа вычисления критической нагрузки,
реализующая данный метод. В программе принято, что стойка имеет постоянную изгибную


                                                 272

Страницы