Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 271 стр.

                           Глава 16. Устойчивость сжатых стержней
                                     16.1. Основные зависимости

      Расчет сжатых стержней на устойчивость сводится, обычно, к определению
критической нагрузки. В курсе «Сопротивление материалов» изучается два метода
определения критических нагрузок – энергетический и метод Эйлера. Энергетический
подход к решению задачи ограничен теми случаями, когда заранее можно предсказать форму
потери устойчивости, что делает его неприменимым (или ограниченно применимым) к
широкому классу задач, например, к задаче об устойчивости стержней с упругими опорами.
      Для решения задачи по методу Эйлера необходимо проинтегрировать уравнение,
описывающее изгиб стержня, выведенного из исходного (прямолинейного) положения
равновесия. Аналитическое интегрирование этого дифференциального уравнения возможно
лишь в простейших случаях. Поэтому для интегрирования используются те или иные
численные методы. Одним из простых и распространенных методов решения краевых задач,
применимым к задачам устойчивости является метод начальных параметров [1].

                                А




                                Б




                                                   Рис.16.1

       Рассмотрим использование метода начальных параметров для определения
критической нагрузки [5] на примере сжатого стержня переменного поперечного сечения
имеющего промежуточные упругие опоры (рис.16.1) с жесткостью С1, С2.
       Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси сжатого стержня в
отклоненном положении (рис.16.1,б). На рис.16.1,б обозначено: R – реакция шарнирной
опоры; F1 = C1 y1 и F2 = C 2 y 2 - усилия, приложенные к стержню взамен отброшенных
упругих связей (они стремятся внутрь стержня в исходное положение).
                               d2y
                       EI ( z ) 2 = − Fy + Rz I −c1 y1 ( z − l 1 ) II −c2 y 2 ( z − l 2 ) III .
                               dz                                                                 (16.1)
       Вертикальные линии в выражении (16.1) отделяют ту часть уравнения, которая
соответствует данному участку. Так, первому участку соответствуют два члена в правой
части уравнения, второму – три и третьему – все четыре члена.
       Для удобства решения приведем выражение (16.1) к безразмерной форме. Обозначим:
                                     z      y        y                     y
                                  ξ = , η = , η1 = 1 ,              η2 = 2 ,
                                     l      l         l                     l
                                             l1                  l2
                                        ξ1 = ,            ξ2 = ,                                (16.2)
                                             l                    l
                               Fl 2            Rl 2           c1l 3          c2 l 3
                          F0 =      ,     R0 =      ,    c1 =       ,   c2 =        .
                               EI 0            EI 0           EI 0           EI 0




                                                  271