Линейные неравенства. Ермолаев Е.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
1
, ..., a
m
m
P
i=1
λ
i
a
i
= 0, λ
i
>
0 ⇒ λ
i
= 0, i = 1, ..., m
C a
1
, ..., a
m
a
1
, ..., a
r
C = (a
1
)+· · ·+(a
r
) a
1
, ..., a
r
a
1
a
1
=
λ
1
a
1
+· · ·+λ
r
a
r
, λ
i
> 0 λ
1
> 0 (λ
1
−1)a
1
+· · ·+λ
r
a
r
= 0
λ
1
< 1 a
1
=
1
1−λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
· · · + λ
r
a
r
a
1
a = e
1
+e
2
a, e
1
, e
2
e
1
, e
2
m × m A m
xA 6 0
C = (b
1
) + · · · + (b
k
)
λ
1
b
1
+ · · · + λ
k
b
k
= 0 λ
i
> 0 λ
1
> 0
−b
1
=
1
λ
1
(λ
2
b
2
+ · · · + λ
k
b
k
) −b
1
A =
1
λ
1
(λ
2
b
2
A + · · · + λ
k
b
k
A) 6 0
b
1
A 6 0 b
1
A = 0 A
b
1
, ..., b
k
C
x xA 6 0
xa
j
= 0
m − 1
xa
j
= 0 j ∈ S ⊂ {1, ..., n} S
0
S
{1, ..., n} a
j
, j ∈ S m − 1 xa
j
= 0, j ∈ S
x x =
x
0
+ x
00
⇒ x
0
a
j
= 0 x
00
a
j
= 0 j ∈ S x
0
x
00
x
a
j
, j ∈ S < m − 1
xa
j
= 0, j ∈ S
x x
0
ε
1
2
(x + εx
0
)
1
2
(x − εx
0
)
xa
j
< 0, j ∈ S
0
xA 6 0 x
ξ
1
6 0, ξ
2
6 0, ξ
3
6 0, ξ
1
−ξ
2
+ξ
3
6 0
xa
i
6 0, i = 1, 2, 3; xa 6 0, a = e
1
− e
2
+ e
3
ïîëóïðÿìûõ.
                                                                              m
                                         ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , ..., am :
                                                                              P
    Ïîëîæèòåëüíàÿ íåçàâèñèìîñòü                                                    λi ai = 0, λi >
                                                                             i=1
0 ⇒ λi = 0, i = 1, ..., m (îòñóòñòâèå ïîäïðîñòðàíñòâà (êðîìå íóëåâîãî) â ïîðîæäåí-
íîì èìè êîíóñå).
 Ëåììà 1. Êîíóñ C ïîðîæäåííûé ïîëîæèòåëüíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé a1 , ..., am
çàîñòðåí.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a1 , ..., ar  ïîäñèñòåìà â ñèñòåìå îáðàçóþùèõ òàêàÿ, ÷òî

C = (a1 )+· · ·+(ar ) è íèêàêîé èç a1 , ..., ar íå ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé êîìáèíàóèåé
îñòàëüíûõ. Äîêàæåì, ÷òî âñå îíè êðàéíèå. Åñëè, íàïðèìåð, a1 êðàéíèé, òî a1 =
λ1 a1 +· · ·+λr ar , λi > 0 è, åñëè λ1 > 0 , òî (λ1 −1)a1 +· · ·+λr ar = 0  ïîëîæèòåëüíàÿ
çàâèñèìîñòü, à åñëè λ1 < 1 , òî a1 = 1−λ        1
                                                  1
                                                    a1 + λ2 a2 · · · + λr ar  íåîòðèöàòåëüíîå
âûðàæåíèå a1 ÷åðåç îñòàëüíûå. Îáà ñëó÷àÿ ïðîòèâîðå÷ÿò ïðåäïîëîæåíèþ.                         
 Ðàçëè÷èå ïîëîæèòåëüíîé çàâèñèìîñòèè è ïîëîæèòåëüíîãî âûðàæåíèÿ: a = e1 +e2 ,
íî a, e1 , e2  ïîëîæèòåëüíî íåçàâèñèìû, åñëè e1 , e2 áàçèñíûå âåêòîðû íà ïëîñêîñòè.
 Ïðåäëîæåíèå 1. Åñëè ðàíã m × m -ìàòðèöû A ðàâåí m (÷èñëó íåèçâåñòíûõ),
òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé xA 6 0 åñòü çàîñòðåííûé êîíóñ.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C = (b1 ) + · · · + (bk )  êîíóñ âñåõ ðåøåíèé äàííîãî

íåðàâåíñòâà. Åñëè λ1 b1 + · · · + λk bk = 0 , ãäå âñå λi > 0 . Åñëè, íàïðèìåð, λ1 > 0 ,
òî −b1 = λ11 (λ2 b2 + · · · + λk bk ) . Îòñþäà −b1 A = λ11 (λ2 b2 A + · · · + λk bk A) 6 0 , à ò.ê.
êðîìå òîãî b1 A 6 0 , òî b1 A = 0 , ò.å. ñòðîêè A ëèíåéíî çàâèñèìû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
ïðåäïîëîæåíèþ î ðàíãå. Ñëåäîâàòåëüíî, b1 , ..., bk ïîëîæèòåëüíî íåçàâèñèìû è ïî
ëåììå 1 C çàîñòðåí.          
 Ïðåäëîæåíèå 2. Ðåøåíèå x ñèñòåìû íåðàâåíñòâ xA 6 0 ÿâëÿåòñÿ êðàéíèì
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàíã ñèñòåìû ñòîëáöîâ, äëÿ êîòîðûõ xaj = 0 , ðàâåí
m − 1.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü xa = 0 äëÿ j ∈ S ⊂ {1, ..., n} è S  äîïîëíåíèå S
                                       j                                      0

äî {1, ..., n} . Åñëè ðàíã ñèñòåìû aj , j ∈ S ðàâåí m − 1 , òî ñèñòåìà xaj = 0, j ∈ S
èìååò åäèíñòâåííîå (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ) ðåøåíèå x . À ò.ê. x =
x0 + x00 ⇒ x0 aj = 0 è x00 aj = 0 äëÿ j ∈ S , òî x0 x00 ïðîïîðöèîíàëüíû, ò.å. x 
êðàéíèé âåêòîð.
    Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü ñèñòåìà aj , j ∈ S èìååò ðàíã < m − 1 . Òîãäà ñèñòåìà
óðàâíåíèé xaj = 0, j ∈ S èìååò ïî êðàéíåé ìåðå åùå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå îò
x ðåøåíèå x0 . Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε âåêòîðû 21 (x + εx0 ) è 12 (x − εx0 ) , áóäóò
óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå xaj < 0, j ∈ S 0 , ò.å. áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ðåøåíèÿìè
ñèñòåìû xA 6 0 , êîòîðûå â ñóììå äàþò x è ïîòîìó ïîñëåäíèé íå ÿâëÿåòñÿ êðàéíèì.

 Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ïðåäëîæåíèÿ 2: ξ1 6 0, ξ2 6 0, ξ3 6 0, ξ1 −ξ2 +ξ3 6 0
( xai 6 0, i = 1, 2, 3; xa 6 0, a = e1 − e2 + e3 ).



                                                6

Страницы