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p > 0 p p
0
θ = max
j
(π
0
j
/π
j
) J = {j ∈ N | π
0
j
/π
j
= θ} η
ij
> 0
α
ij
π
j
>
α
ik
π
k
k. (1)
I = {i ∈ M | ∃j ∈ J :
α
ij
π
0
j
>
α
ik
π
0
k
, k = 1, ..., n} C
i
G
j
j ∈ J p
0
β
i
C
i
, i ∈ I G
j
, j ∈
J p
0
X
I
β
i
>
X
J
π
0
= θ
X
J
π
j
. (2)
i ∈ I I j ∈ J
α
ij
π
0
j
>
α
ik
π
0
k
k. (3)
C
i
G
r
p
α
ir
π
r
>
α
ij
π
j
=
θα
ij
π
0
j
>
θα
ir
π
0
r
. (4)
π
0
r
/π
r
> θ r ∈ J
I p J
X
I
β
i
6
X
J
π
j
, (5)
I J p
θ = 1 p = p
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî p > 0 . Ïóñòü p è p0 äâà ðàâíîâåñíûõ âåêòîðà
öåí. Ïîëîæèì θ = max(πj0 /πj ) è ïóñòü J = {j ∈ N | πj0 /πj = θ} . Ïî ëåììå 3 ηij > 0 ,
j
åñëè
αij αik
> äëÿ âñåõ k. (1)
πj πk
α
Ïîëîæèì I = {i ∈ M | ∃j ∈ J : πij0 > απik0 , k = 1, ..., n} (ïîòðåáèòåëü Ci ïðåäïî÷èòàåò
j k
õîòÿ áû îäèí ïðîäóêò Gj äëÿ j ∈ J ïðè öåíàõ p0 ).
Òàê êàê äîõîäà βi ïîòðåáèòåëÿ Ci , i ∈ I äîëæíî õâàòèòü íà îïëàòó âñåõ Gj , j ∈
J ïðè öåíàõ p0 , òî X X X
βi > π0 = θ πj . (2)
I J J
Åñëè i ∈ I , òî ïî îïðåäåëåíèþ I ñóùåñòâóåò j ∈ J òàêîå, ÷òî
αij αik
0
> 0 äëÿ âñåõ k. (3)
πj πk
Åñëè Ci ïðåäïî÷èòàåò Gr ïðè öåíàõ p , òî
αir αij θαij θαir
> = 0 > 0 . (4)
πr πj πj πr
Îòñþäà πr0 /πr > θ è ïîòîìó r ∈ J , ò.å. êàæäûé ïðîäóêò, êîòîðûé ïðåäïî÷èòåëåí
äëÿ âñåõ ïîòðåáèòåëåé èç I ïðè öåíàõ p , ÿâëÿåòñÿ ïðîäóêòîì èç J . Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî
X X
βi 6 πj , (5)
I J
ïîñêîëüêó ïîòðåáèòåëè èç I ïîêóïàþò ïðîäóêòû òîëüêî èç J ïðè öåíàõ p è äîëæíû
òðàòèòü íà íèõ âåñü ñâîé äîõîä. Èç (2) è (5) ïîëó÷àåì θ = 1 è p = p0 .
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