ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
a
1
y
1
>
α
11
π
1
β
1
a
1
y
1
6 a
1
y
1
a
1
y
1
a
1
y
1
π
j
=
α
ij
β
i
a
i
y
i
⇔ η
ij
> 0 (∗)
η
11
> 0 π
1
>
α
11
β
1
a
1
y
1
i i = 2 π
1
=
α
21
β
2
a
2
y
2
α
21
β
2
(a
1
y
1
) > α
11
β
1
(a
2
y
2
)
y
1
, ..., y
m
y
0
1
= (η
11
− ε, η
12
, ..., η
1n
), y
0
2
= (η
21
+ ε, η
22
, ..., η
2n
) 0 < ε < η
11
y
0
1
, y
0
2
, y
3
, ..., y
m
ϕ(y
0
1
, y
0
2
, y
3
, ..., y
m
)−
ϕ(y
1
, y
2
, ..., y
m
) = [(a
1
y
1
−α
11
ε)
β
1
(a
2
y
2
+α
21
ε)
β
2
−(a
1
y
1
)
β
1
(a
2
y
2
)
β
2
]×(a
3
y
3
)
β
3
· · · (a
m
y
m
)
β
m
(a
1
y
1
)
β
1
−1
(a
2
y
2
)
β
2
−1
[(a
1
y
1
)α
21
β
2
− (a
2
y
2
)α
11
β
1
]ε ε > 2
ε
ε
p = (π
1
, ..., π
n
),
n
P
j=1
π
j
= 1, µ
i
= max
j
α
ij
π
j
y
i
py
i
6 β
i
η
ij
> 0 ⇒
α
ij
π
j
= µ
i
(1)
C
i
G
j
µ
i
α
ij
π
j
6 µ
i
α
ij
6 µ
i
π
j
j
η
ij
j a
i
y
i
=
m
P
j=1
α
ij
η
ij
6
µ
i
m
P
j=1
η
ij
π
j
= µ
i
py
i
= µ
i
β
i
η
ij
α
ij
6 µ
i
π
j
j a
i
y
i
=
µ
i
β
i
y
i
a
i
y
i
< µ
i
β
i
a
i
y
i
= max a
i
y
i
a
i
y
i
< mu
i
β
i
j
η
ij
> 0
α
ij
π
j
< µ
i
α
ij
< µ
i
π
j
ϕ
G
1
G
2
G
3
C
1
C
2
C
3
p = (1, 2; 1, 0; 0, 8)
y
1
= (5/6, 0, 0), y
2
= (0, 1, 0), y
3
= (1/6, 0, 1)
p
a1 y 1 > α11
π1 1
β . Îòñþäà a1 y1 6 a1 y 1 , ò.å. a1 y 1 ìàêñèìèçèðóåò a1 y1 .
αij βi
Ëåììà 2. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 èìååì πj = a y ⇔ η ij > 0 (ò.å (∗) ëåììû 1).
i i
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî η 11 > 0 , íî π1 > . Ïî îïðåäåëåíèþ
α11 β1
a1 y 1
äëÿ íåêîòîðîãî i (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì i = 2 ) èìååì π1 = αa212 yβ2 . Òîãäà
2
α21 β2 (a1 y 1 ) > α11 β1 (a2 y 2 ) (**). Ïîêàæåì, ÷òî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè ñè-
ñòåìû íàáîðîâ y 1 , ..., y m .
Ïóñòü y10 = (η 11 − ε, η 12 , ..., η 1n ), y20 = (η 21 + ε, η 22 , ..., η 2n ) , ãäå 0 < ε < η 11 . Äëÿ
ñèñòåìû íàáîðîâ y10 , y20 , y 3 , ..., y m óñëîâèå (2) ñîõðàíÿåòñÿ. Äàëåå, ϕ(y10 , y20 , y 3 , ..., y m )−
ϕ(y 1 , y 2 , ..., y m ) = [(a1 y 1 −α11 ε)β1 (a2 y 2 +α21 ε)β2 −(a1 y 1 )β1 (a2 y 2 )β2 ]×(a3 y 3 )β3 · · · (am y m )βm .
Ïðåîáðàçóÿ âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ (ôîðìóëà áèíîìà), ïîëó÷èì
(a1 y 1 )β1 −1 (a2 y 2 )β2 −1 [(a1 y 1 )α21 β2 − (a2 y 2 )α11 β1 ]ε +÷ëåíû ñ ε â ñòåïåíÿõ > 2 .
Èç íåðàâåíñòâà (**) âèäíî âûðàæåíèå ïðè ε â ïåðâîé ñòåïåíè ïîëîæèòåëüíî. Ñëåäî-
âàòåëüíî, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε è âñå âûðàæåíèå áóäåò ïîëîæèòåëüíî, ÷òî äàåò
òðåáóåìîå ïðîòèâîðå÷èå.
n
α
Ëåììà 3. Ïóñòü çàäàí p = (π1 , ..., πn ), πj = 1, µi = max πijj . Òîãäà y i
P
j=1 j
òàêîé, ÷òî py i 6 βi ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
αij
η ij > 0 ⇒ = µi (1)
πj
(äëÿ ïîòðåáèòåëÿ Ci ïðîäóêò Gj ïðåäïî÷òèòåëüíåå).
αij
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ µi èìååì 6 µi èëè αij 6 µi πj äëÿ âñåõ j .
πj
m
Óìíîæàÿ ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà íà η ij è ñóììèðóÿ ïî j , ïîëó÷èì ai y i =
P
αij η ij 6
j=1
m
η ij πj = µi py i = µi βi . Çäåñü ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
P
µi
j=1
èìååò ìåñòî (1). Â ñàìîì äåëå, åñëè âûïîëíåíî (1), òî ïîñëå óìíîæåíèÿ íà η ij âñå
íåðàâåíñòâà αij 6 µi πj îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà äëÿ âñåõ j , ò.å. áóäåì èìåòü ai y i =
µi βi . Åñëè æå yi óñëîâèþ (1) íå óäîâëåòâîðÿåò, òî áóäåì èìåòü ai yi < µi βi . Îòñþäà
ai y i = max ai yi . Îáðàòíî, åñëè ai yi < mui βi , òî õîòÿ áû äëÿ îäíîãî j òàêîãî, ÷òî
α
η ij > 0 äîëæíû èìåòü πijj < µi ( αij < µi πj ).
Çàìå÷àíèÿ. 1) Îòíîñèòåëüíîñòü ñóáúåêòèâíûõ ïîëåçíîñòåé.
2) Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ôóíêöèè ϕ â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.
3) Âûõîä ê âûïóêëîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ïîëåçíîñòåé
G1 G2 G3
C1 4 3 1
Åå ðàâíîâåñíûé âåêòîð öåí åñòü p = (1, 2; 1, 0; 0, 8) .
C2 2 3 2
C3 3 1 2
Ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðû åñòü y1 = (5/6, 0, 0), y2 = (0, 1, 0), y3 = (1/6, 0, 1) ,
ðàâíîâåñíîñòü êîòîðûõ ïðîâåðÿåòñÿ ïî ëåììå 3.
Òåîðåìà 2. Ðàâíîâåñíûé âåêòîð öåí p åäèíñòâèíåí.
17
