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r r = 2, (q
1
, q
2
) = 1 k > N = q
1
(q
2
− 1)
k − iq
1
, i = 0, ..., q
2
− 1 q
2
0 6 m
1
6
q
2
− 1 k − m
1
q
1
= m
2
q
2
r > 2 (q
1
, ..., q
r
) = 1, (q
1
, ..., q
r−1
) = d k
1
> N
1
k
1
=
r−1
P
i+1
m
i
q
i
d
(k
1
, q
r
) = 1 =⇒ (dk
1
, q
r
) = 1 k > N
k = n
1
k
1
d + m
r
q
r
p N =
p
S
i=1
Q
i
, Q
i
T
Q
j
= ∅ (i 6= j), α
ij
6=
0, i ∈ Q
r
⇒ j ∈ Q
r+1
r = p j ∈ Q
1
A =
A
1
A
2
A
3
A
p
.
R = {r ∈ Z
+
| α
(r)
11
> 0} p
R
p = 1 r
1
, ..., r
s
∈ R (r
1
, ..., r
s
) = 1 N
0
R m > N
0
α
(m)
11
= α
(
P
m
i
r
i
)
11
> 0 α
(q
j
)
1j
> 0
j = 2, ..., n q = max{q
j
} α
(m+q)
1j
> 0 j m + q = m + q
j
+ q
0
j
α
(m+q
0
j
)
11
> 0 α
(q
j
)
1j
> 0 A
m+q
A
p > 1 Q
r
= {i ∈ N | ∃k ∈ Z : α
(r+kp)
1i
> 0}, r = 1, 2, ..., p Q
s
∩ Q
t
= ∅
s 6= t α
(u)
1i
> 0, α
(v)
1i
> 0 ⇒ u ≡ v( p) k
α
(k)
i1
> 0 α
(u+k)
11
> 0 α
(v+k)
11
> 0 α
ij
> 0 i ∈ Q
r
α
(r+kp)
1i
> 0 α
(r+1+kp)
1j
> 0 r = p r + 1 + kp = 1 + (k + 1)p
N =
p
S
i=1
Q
i
A p
B = (β
ij
) m × m
n
P
i=1
β
ij
< 1, j = 1, ..., m
lim B
k
= 0 k → ∞
|Bx| =
P
i
|
P
j
β
ij
x
j
| 6
P
i
(
P
j
β
ij
)|x
j
| 6 γ
P
j
|x
j
| = γ|x| γ =
max
j
P
i
β
ij
< 1 |Bx| 6 γ|x| ⇒ |B
k
x| 6 γ
k
|x| ⇒ |λ
k
x| → 0 ⇒ λ
k
→ 0 ∀x
k → ∞
B
k
→ 0 k → ∞ det(E − B) 6= 0 E − B
Äîê-âî. Èíäóêöèÿ ïî r . Ïóñòü r = 2, (q1 , q2 ) = 1 è k > N = q1 (q2 − 1) . ×èñëà
k − iq1 , i = 0, ..., q2 − 1 íåñðàâíèìû ïî ìîäóëþ q2 è ïîòîìó äëÿ íåêîòîðîãî 0 6 m1 6
q2 − 1 èìååì k − m1 q1 = m2 q2 .
Ïóñòü r > 2 , (q1 , ..., qr ) = 1, (q1 , ..., qr−1 ) = d ; òîãäà ïðè k1 > N1 ïî ïðåäïîëîæå-
r−1
íèþ èíäóêöèè èìååì k1 = . Ïóñòü (k1 , qr ) = 1 =⇒ (dk1 , qr ) = 1 è ïðè k > N
P mi qi
d
i+1
èìååì k = n1 k1 d + mr qr .
p
Ïåðèîäè÷åñêàÿ ìàòðèöà ïåðèîäà p : N =
S T
Qi , Qi Qj = ∅ (i 6= j), αij 6=
i=1
0, i ∈ Qr ⇒ j ∈ Qr+1 (ïðè r = p j ∈ Q1 ).
Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé íóìåðàöèè ñòðîê è ñòîëáöîâ ïåðèîäè÷åñêàÿ ìàòðèöà ïðè-
íèìàåò âèä
A1
A2
A= A3 .
..
.
Ap
Òåîðåìà 4. Íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà îáìåíà ëèáî óñòîé÷èâà, ëèáî ïåðèîäè÷íà.
(r)
Äîê-âî. Ïóñòü R = {r ∈ Z+ | α11 > 0} è p íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë
èç R .
1) p = 1 , ò.å. íàéäóòñÿ òàêèå r1 , ..., rs ∈ R , ÷òî (r1 , ...,P
rs ) = 1 . Ïóñòü N0 îïðåäå-
(m) ( mi ri ) (q )
ëåíî äëÿ R êàê â ëåììå 8; ïðè m > N0 èìååì α11 = α11 > 0 . Ïóñòü α1jj > 0
(m+q)
( j = 2, ..., n ) è q = max{qj } . Òîãäà α1j > 0 äëÿ âñåõ j , ò.ê. m + q = m + qj + qj0
(m+q 0 ) (q )
è α11 j > 0 è α1jj > 0 . Òàêèì îáðàçîì, Am+q èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ñòðîêó è
ïîòîìó ìàòðèöà A óñòîé÷èâà.
(r+kp)
2) p > 1 . Qr = {i ∈ N | ∃k ∈ Z : α1i > 0}, r = 1, 2, ..., p . Qs ∩ Qt = ∅ ïðè
(u) (v)
s 6= t : α1i > 0, α1i > 0 ⇒ u ≡ v(mod p) (ò.ê. äëÿ íåêîòîðîãî k ñóùåñòâóåò ïî
(k) (u+k) (v+k)
ëåììå 7 αi1 > 0 è ïîòîìó α11 > 0 è α11 > 0 ). Åñëè αij > 0 äëÿ i ∈ Qr , ò.å.
(r+kp) (r+1+kp)
α1i > 0 , òî è α1j > 0 (ïðè r = p èìååì r + 1 + kp = 1 + (k + 1)p ). Òî åñòü,
p
ðàçáèåíèå N = Qi çàäàåò ïåðèîäè÷íîñòü ìàòðèöû A ïåðèîäà p .
S
i=1
4. Äèíàìèêà â ïðèâîäèìîì ñëó÷àå.
n
Ïóñòü B = (βij ) m × m -ìàòðèöà òàêàÿ, ÷òî βij < 1, j = 1, ..., m ;
P
Ëåììà 1.
i=1
òîãäà lim B k = 0 ïðè k → ∞ .
Äîêàçàòåëüñòâî. |Bx| = |xj | = γ|x| , ãäå γ =
P P PP P
| βij xj | 6 ( βij )|xj | 6 γ
i j i j j
βij < 1 . Òî åñòü |Bx| 6 γ|x| ⇒ |B k x| 6 γ k |x| ⇒ |λk x| → 0 ⇒ λk → 0 ∀x
P
max
j i
ïðè k → ∞ .
Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ëåììû 1.
Ëåììà 2. Åñëè B k → 0 ïðè k → ∞ , òî det(E − B) 6= 0 (ò.å. E − B îáðàòèìàÿ
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