Линейные неравенства. Ермолаев Е.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
S
1
, ..., S
k
y = (η
j
)
y = y
1
+· · ·+y
k
y
i
S
i
, i = 1, ..., k
A
i
y
i
= y
i
, i = 1, ..., k y = y
1
+· · ·+y
k
A
i
S
i
Ay = y y
N = S
1
∪ · · · ∪ S
k
∪ T S
i
y
y = y
1
⊕ · · · ⊕ y
k
⊕ y
T
y
i
A
i
, i = 1, ..., k
y
0
= y
1
⊕ · · · ⊕ y
k
y
0
= y − y
0
A
y
0
T
S
0
T y
0
S
0
S
0
6= ∅
T S
0
= ∅ y
0
= 0 y
0
= y
i ∈ T η
i
= 0
y =
αy
1
+ βy
2
y
1
= (η
1
, η
4
, η
6
) = (0, 15; 0, 4; 1), y
2
= (η
3
, η
5
) = (1, 8; 1)
A A
m
m ∈ Z, m > 0
vA = v ⇒ vA
m
= v
n |y| =
n
P
j=1
|η
j
| y = (η
1
, ..., η
n
)
|λy| = |λ||y| λ ∈ R |y + y
0
| 6 |y| + |y
0
|
{y
i
} y
i
→ y ⇔ |y − y
i
| → 0
Y = {y ∈ R
n
| y > 0, |y| =
n
P
j=1
η
j
= 1}
A AY ⊆ Y vA = v vAy = vy = 1
∀y ∈ Y A
k
y → y k → ∞
y ∈ Y y
k
= A
k
y
0
, k = 0, 1, 2, ... (y
0
= y)
A y
|Ay −y | = |Ay −A
k
y
0
+A
k
y
0
−y| 6 |Ay −A
k
y
0
|+|y −A
k
y
0
| = |Ay −Ay
k−1
|+
      1    2     3     4     5       6    7                    1   4     6     3     5     2     7
 1   0,2   0,1         0,3                           1     0,2     0,3   0                 0,1   0
 2         0,2                            0,5        4         0   0     0,4               0     0
 3         0,2   0,5         0,9                     6     0,8     0,7   0,6               0     0
 4                                  0,4              3                         0,5   0,9   0,2   0
 5               0,5         0,1          0,2        5                         0,5   0,1   0     0,2
 6   0,8               0,7          0,6              2                                     0,2   0,5
 7         0,5                            0,3        7                                     0,5   0,3
 Ò3. Âûðàæåíèå ðàâíîâåñíîãî âåêòîðà â îáùåì ñëó÷àå. Ïóñòü A  ìàòðèöà îáìåíà
ñ íåïðèâîäèìûìè ïîäìíîæåñòâàìè S1 , ..., Sk , à y = (ηj )  ðàâíîâåñíûé âåêòîð.
Òîãäà y = y1 +· · ·+yk , ãäå yi  ðàâíîâåñíûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé Si , i = 1, ..., k
    Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Ai yi = yi , i = 1, ..., k è y = y1 + · · · + yk , ãäå Ai  ïîäìàò-

ðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ Si , òî î÷åâèäíî, ÷òî Ay = y , ò.å. y  ðàâíîâåñíûé âåêòîð.
Îáðàòíî, ïóñòü N = S1 ∪ · · · ∪ Sk ∪ T , ãäå Si  íåïðèâîäèìûe ïîäìíîæåñòâà è y 
ðàâíîâåñíûé âåêòîð. Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå y = y1 ⊕ · · · ⊕ yk ⊕ yT . Ëåãêî ïðîâåðèòü,
÷òî êîæäûé yi çäåñü ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûì âåêòîðîì äëÿ Ai , i = 1, ..., k . Ïîýòîìó
y 0 = y1 ⊕ · · · ⊕ yk è y0 = y − y 0 òîæå ðàâíîâåñíûå âåêòîðû äëÿ A . Ïî ïîñòðîåíèþ
âñå êîîðäèíàòû âåêòîðà y0 ðàâíû íóëþ, êðîìå ìîæåò áûòü ñîîòâåòñòâóþ- ùèõ T .
Åñëè S0 ïîäìíîæåñòâî â T ñîîòâåòñòâóþùèõ íåíóëåâûì êîîðäèíàòàì y0 . Ïî ëåììå
2 S0 íåçàâèñèìîå ïîäìíîæåñòâî. Åñëè S0 6= ∅ , òî ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ
T . Ïîýòîìó S0 = ∅ è y0 = 0 , ò.å. y 0 = y . 
 Ñ2. Åñëè i ∈ T , òî ηi = 0 â ëþáîì ðàâíîâåñíîì âåêòîðå.
 Ïðèìåð. Â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáîé âåêòîð y =
αy1 + βy2 , ãäå y1 = (η1 , η4 , η6 ) = (0, 15; 0, 4; 1), y2 = (η3 , η5 ) = (1, 8; 1)

     3. Äèíàìè÷åñêàÿ òåîðèÿ â íåïðèâîäèìîì ñëó÷àå.
 Ýêîíîìè÷åñêîå ïîÿñíåíèå.
 Åñëè A ìàòðèöà îáìåíà, òî è Am ìàòðèöà îáìåíà ïðè ëþáîì m ∈ Z, m > 0 .
( vA = v ⇒ vAm = v .)
                                         n
 Íîðìà íà n -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå: |y| =   |ηj | , åñëè y = (η1 , ..., ηn ) . Îñíîâíûå
                                         P
                                                         j=1
ñâîéñòâà: |λy| = |λ||y| ( λ ∈ R ) è |y + y 0 | 6 |y| + |y 0 | .
 Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ {yi } : yi → y ⇔ |y − yi | → 0 .
                               n
 Y = {y ∈ Rn | y > 0, |y| =     ηj = 1} .
                              P
                                   j=1
 Ëåììà 1. Åñëè A  ìàòðèöà îáìåíà, òî AY ⊆ Y . ( vA = v vAy = vy = 1 .) 
 Óñòîé÷èâàÿ ìàòðèöà îáìåíà: ∀y ∈ Y Ak y → y ïðè k → ∞ .
 Äëÿ y ∈ Y áóäåì ïèñàòü yk = Ak y0 , k = 0, 1, 2, ... (y0 = y) .
 Ëåììà 2. Åñëè A óñòîé÷èâàÿ, òî y  ðàâíîâåñíûé âåêòîð.
   Äîê-âî. |Ay − y| = |Ay − Ak y0 + Ak y0 − y| 6 |Ay − Ak y0 | + |y − Ak y0 | = |Ay − Ayk−1 | +

                                                12

Страницы