Линейные неравенства. Ермолаев Е.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α
ij
C
j
C
i
C
i
α
ij
−→ C
j
α
ij
G
j
P
i
n
P
1
, ..., P
n
n G
1
, ..., G
n
α
ij
P
i
G
j
α
ij
> 0,
n
P
i=1
α
ij
= 1 A = (α
ij
)
A > 0,
P
a
i
= v
p = (π
1
, ..., π
n
) > 0 Ap 6 p
A = (α
ij
) α
ij
> 0
n
P
i=1
α
ij
= 1, j = 1, ..., n
Ap 6 p ⇒ Ap = p
P
π
i
>
P
a
i
p = (
P
a
i
)p = vp =
P
π
i
P
π
i
=
P
(a
i
p)
y Ay = y, y > 0
xA = 0, x > 0, x 6= 0
Ay > 0, (y 6= 0)
P
ξ
i
a
i
= 0,
P
ξ
i
= 1
xA = b, x > 0 Ay 6 0, by > 0
y ∈ R
n
η < 0
a
i
y + η > 0 a
i
y > −η > 0 i = 1, ..., m
A y > 0, y 6= 0
Ay = y
y > 0, y 6= 0 (E − A)y = 0
x ∈ R
n
x(E − A) > 0
n
P
i=1
ξ
i
a
i
< x A
   Ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü îáìåíà.

   1.     Ïðèìåðû ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëåé.
 1) Ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü ìåæäóíàðîäíîé òîðãîâëè.
 αij  ÷àñòü äîõîäà ñòðàíû Cj , êîòîðàÿ òðàòèòñÿ íà èìïîðò èç ñòðàíû Ci :
     αij
Ci −→ Cj .
 2) Ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü îáìåíà â ïðîèçâîäñòâå.
 αij  êîëè÷åñòâî ïðîäóêòà Gj ïîòðåáëÿåìîå ïðîèçâîäñòâîì Pi .
     Ýêîíîìè÷åñêèå ëèíåéíûå ìîäåëè.
     1) Ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü îáìåíà. Èìååòñÿ n ïðîèçâîäñòâ (ïðîèçâîäèòåëåé)
P1 , ..., Pn , êîòîðûå ïðîèçâîäÿò è ñîîòâåòñòâåííî n ïðîäóêòîâ G1 , ..., Gn , êîòîðûå
îíè ïðîèçâîäÿò êàæäûé ïî åäèíèöå ïðîäóêòà çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïðè ýòîì αij 
ïîòðåáëåíèå ïðîèçâîäèòåëåì Pi ïðîäóêòà Gj çà òó æå åäèíèöó âðåìåíè. Ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî ìîäåëü çàìêíóòà (ïðîäóêòû èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî âíóòðè è èç âíå íå
ïîñòóïàþò). Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
                n
                   αij = 1 . Ìàòðèöà A = (αij ) , ýëåìåíòû êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò ýòèì
               P
αij > 0,
               i=1
óñëîâèÿì ( A > 0,          ai = v ) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îáìåíà (â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
                        P

ñòîõàñòè÷åñêîé).

     Çàäà÷à: ñóùåñòâóåò ëè âåêòîð öåí p = (π1 , ..., πn ) > 0 òàêîé, ÷òî Ap 6 p ?
     2. Ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîâåñíîãî âåêòîðà.
                                                   n
 Ìàòðèöà îáìåíà A = (αij ) , ãäå αij > 0 è          αij = 1, j = 1, ..., n .
                                                   P
                                                i=1
 Ë1. Ap 6 p ⇒ Ap = p .
   Äîêàçàòåëüñòâî.                                           πi . Ñëåäîâàòåëüíî,
                       P        P         P                P                       P
                           πi >   ai p = ( ai )p = vp =                               πi =
  (ai p) . 
P

 Ðàâíîâåñíûé âåêòîð y : Ay = y, y > 0 .
 TA. Èìååò ìåñòî àëüòåðíàòèâà:
   a) ëèáî èìååò ðåøåíèå óðàâíåíèå xA = 0, x > 0, x 6= 0 ,
   b) ëèáî èìååò ðåøåíèå íåðàâåíñòâî Ay > 0, (y 6= 0) .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñîâìåñòèìîñòü äîêàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíî. Ïóñòü (a) íå èìååò

ðåøåíèÿ, òîãäà íå èìååò ðåøåíèÿ ñèñòåìà                       ξi = 1 .
                                            P              P
                                                ξi ai = 0,
   Ðàíåå áûëà àëüòåðíàòèâà (î ðàçäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòè): a) ëèáî ñóùåñòâóåò
ðåøåíèå xA = b, x > 0 , b) ëèáî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå Ay 6 0, by > 0 .
   Ïî òåîðåìå î ðçäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòè ñóùåñòâóþò y ∈ Rn è η < 0 òàêèå,
÷òî ai y + η > 0 ò.å. ai y > −η > 0 äëÿ âñåõ i = 1, ..., m .   
 Ò1. Åñëè A  ìàòðèöà îáìåíà, òî âñåãäà ñóùåñòâóåò y > 0, y 6= 0 òàêîé, ÷òî
Ay = y .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè íå ñóùåñòâóåò y > 0, y 6= 0 òàêîé, ÷òî (E − A)y = 0 , òî
                                                                  n
ïî TA. ñóùåñòâóåò x ∈ Rn òàêîé ÷òî x(E − A) > 0 , ò.å.              ξi ai < x . Òàê êàê A
                                                                 P
                                                                i=1




                                           10

Страницы