Линейные неравенства. Ермолаев Е.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X xA 6 b
xA 6 0
yA 6 0 y 6= 0 x
0
x
0
A 6 b
λ > 0 (x
0
+ λy)A 6 b x
0
+ λy ∈ X λ > 0 X
X
xA 6 0
x
1
, x
2
, x
3
, ... (x
i
= (ξ
ij
)) lim
i→∞
µ
i
= ∞ µ
i
= max
j
|ξ
ij
|
y
i
=
1
m
i
x
i
6= 0 y
i
A 6
1
m
i
b y
0
= lim
i→∞
y
i
y
0
A 6 0
1
m
i
b → 0 y
0
6= 0
y
i
a
1
, ..., a
m
b
j
=
m
P
i=1
τ
ij
a
i
, j =
1, ..., n T = (τ
ij
) τ
st
6= 0 a
1
, ..., a
s−1
, b
t
, a
s+1
, ..., a
m
b
j
=
m
P
i=1
τ
0
ij
a
0
i
a
0
i
= a
i
i 6= s; a
0
s
= b
t
j = 1, ..., n τ
0
ij
= τ
ij
−
τ
it
τ
st
τ
sj
i 6= s
τ
0
sj
=
τ
sj
τ
st
, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
b = ξ
1
a
1
+ · · · + ξ
m
a
m
xA = b
τ
ij
a
1
a
2
a
m
a
n
c
a
1
τ
1n
η
1
a
2
τ
2n
η
2
 Ñ.1. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé X íåðàâåíñòâà xA 6 b îãðàíè÷åíî â òîì è òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâî xA 6 0 èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè yA 6 0 è y 6= 0 , òî äëÿ ëþáîãî x0 òàêîãî, ÷òî x0 A 6 b

è λ > 0 èìååì (x0 + λy)A 6 b , ò.å. x0 + λy ∈ X ïðè ëþáîì λ > 0 è ïîòîìó X
íå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííûì. Îáðàòíîå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïðåäëîæåíèÿ 1.

   Ñõåìà äðóãîãî äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ: ïóñòü ìíîæåñòâî X íåîã-
ðàíè÷åííî; äîêàæåì, ÷òî xA 6 0 èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ðåøåíèé x1 , x2 , x3 , ... (xi = (ξij )) òàêèõ, ÷òî lim µi = ∞ , ãäå µi = max |ξij | .
                                                                       i→∞                             j
Òîãäà yi =      1
                  x
                mi i
                       6= 0 è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó yi A 6                   1
                                                                                 mi
                                                                                    b.   Åñëè y0 = lim yi
                                                                                                           i→∞
(ñóùåñòâîâàíèå ?), òîãäà, î÷åâèäíî, y0 A 6 0 (ò.ê. m1i b → 0 ). Ïðè ýòîì y0 6= 0 , ò.ê. ó
êàæäîãî yi åñòü êîîðäèíàòà ìîäóëü êîòîðîé ðàâåí 1.        
    8. Ñèìïëåêñ-ìåòîä äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ.
                                                                                               m
                           (Òåîðåìà î çàìåíå.) Ïóñòü a1 , ..., am  áàçèñ; bj =
                                                                                               P
    Ïðåäëîæåíèå 1.                                                                                   τij ai , j =
                                                                                               i=1
1, ..., n ; T = (τij ) . Åñëè τst 6= 0 , òî ñèñòåìà a1 , ..., as−1 , bt , as+1 , ..., am  òîæå áàçèñ è
        m
            τij0 a0i , ãäå a0i = ai ïðè i 6= s; a0s = bt j = 1, ..., n , òî τij0 = τij − ττstit τsj ïðè i 6= s ;
        P
bj =
      i=1
       τ
 0
τsj = τsj
       st
          , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n .
 Ðåøåíèå ñèñòåìû b = ξ1 a1 + · · · + ξm am ( xA = b ) ïðîöåññîì çàìåùåíèÿ; ñëó÷àé
îòñóòñòâèÿ ðåøåíèÿ (îòñóòñòâèå íåíóëåâûõ τij ).
 Ñèìïëåêñ-ìåòîä.
      a1 a2 ... am ... an c
 a1 1 0 ... 0                   τ1n η1
 a2 0 1 ... 0                   τ2n η2




                                                       9

Страницы