ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
|y − A
k
y
0
| < ε
1
+ ε
2
< ε
|Ay − y| 6 |y − y|
z = y − y = (ζ
j
) |Ay − y| = |A(y − y)| =
n
P
i=1
|
n
P
j=1
α
ij
ζ
j
| 6
n
P
i=1
n
P
j=1
α
ij
|ζ
j
| =
n
P
j=1
|ζ
j
|
n
P
i=1
α
ij
=
n
P
j=1
|ζ
j
| = |y − y|
∃γ (0 6 γ < 1) ∀y ∈ Y : |A(y − y)| 6 γ|y − y| y
Y
|A
k
y − y| = |Ay
k−1
− y| 6 γ|y
k−1
− y| = γ|A
k−1
y − y| 6 γ
k
|y − y|
A
a
1
> 0; γ = min{α
1j
}, y, y ∈ Y ; z = y − y = (ζ
j
)
a
1
z > 0 z = y − y ζ
+
j
=
max{0, ζ
j
}, ζ
−
j
= min{ζ
j
, 0}, j = 1, ..., n
n
P
i=1
ζ
j
= 0 y y ∈ Y
n
P
i=1
ζ
+
j
+
n
P
i=1
ζ
−
j
= 0 |z| =
n
P
i=1
ζ
+
j
−
n
P
i=1
ζ
−
j
⇒
n
P
i=1
ζ
−
j
= −
1
2
|z|
|Az| =
n
P
i=1
|
n
P
j=1
α
ij
ζ
j
| =
n
P
i=2
|
n
P
j=1
α
ij
ζ
j
| +
n
P
j=1
α
1j
ζ
j
a
1
z > 0 6
n
P
i=1
n
P
j=1
α
ij
|ζ
j
| +
n
P
j=1
α
1j
(ζ
j
− |ζ
j
|) =
n
P
j=1
|ζ
j
|(
n
P
i=1
α
ij
)
+ 2
n
P
j=1
α
1j
ζ
−
j
6 |z| + 2γ
n
P
j=1
ζ
−
j
= (1 − γ)|z| a
1
> 0 γ > 0 γ = 1
a
1
= (1, 1, ..., 1) a
i
= 0 i > 1
∀y ∈ Y Ay = y = (1, 0, ..., 0) |Ay − y| = 0
A
A
m
m A
|A
mk
y−y| < ε k > N
1
N
2
= N
1
m k > N
2
k = k
1
m + r k
1
> N
1
r < m |A
k
y − y| = |A
k
1
m+r
y − y| =
|A
r
(A
k
1
m
y − y)| 6 |(A
k
1
m
y − y)| < ε
A m A
m
A
m
= (α
(m)
ij
) α
(r)
ij
> 0 α
(s)
jk
> 0 α
(r+s)
ik
> 0
A i, j r
α
(r)
ij
> 0
S = {j ∈ N | α
(r)
1j
= 0 ∀ r} i /∈ S j ∈ S ∃ r α
(r)
1i
> 0
α
ij
> 0 α
(r+1)
1j
> 0 j
α
ij
= 0
(q
1
, ..., q
r
) = 1 N
0
m > N
0
m =
P
m
i
q
i
m
i
> 0
|y − Ak y0 | < ε1 + ε2 < ε .
Ëåììà 3. Èìååì |Ay − y| 6 |y − y| .
n n
Äîê-âî. Äëÿ z = y − y = (ζj ) èìååì |Ay − y| = |A(y − y)| =
P P
| αij ζj | 6
i=1 j=1
n P
n n n n
|ζj | = |y − y| .
P P P P
αij |ζj | = |ζj | αij =
i=1 j=1 j=1 i=1 j=1
Ìàòðèöà ñæàòèÿ: ∃γ (0 6 γ < 1) ∀y ∈ Y : |A(y − y)| 6 γ|y − y| (ãäå y
ðàâíîâåñíûé âåêòîð èç Y ).
Ëåììà 4. Ìàòðèöà ñæàòèÿ óñòîé÷èâà.
Äîê-âî. Èìååì |Ak y − y| = |Ayk−1 − y| 6 γ|yk−1 − y| = γ|Ak−1 y − y| 6 γ k |y − y| .
Ëåììà 5. Åñëè ìàòðèöà A èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ñòðîêó, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ìàò-
ðèöåé ñæàòèÿ.
Äîê-âî. Ïóñòü a1 > 0; γ = min{α1j }, y, y ∈ Y ; z = y − y = (ζj ) ; ïðåäïî-
ëîæèì: ÷òî a1 z > 0 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì z = y − y ). Ïóñòü ζj+ =
n
max{0, ζj }, ζj− = min{ζj , 0}, j = 1, ..., n . Èìååì ζj = 0 (ò.ê. y è y ∈ Y ), ò.å.
P
i=1
n n n n n
ζj+ ζj− = 0 è, êðîìå òîãî, |z| = ζj+ ζj− ⇒ ζj− = − 12 |z| . Èìå-
P P P P P
+ −
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n n n n n n P
n
åì |Az| = α1j ζj (ò.ê. a1 z > 0 ) 6
P P P P P P
| αij ζj | = | αij ζj | + αij |ζj | +
i=1 j=1 i=2 j=1 j=1 i=1 j=1
n
P n
P n
P
α1j (ζj − |ζj |) = |ζj |( αij )
j=1 j=1 i=1
n n
α1j ζj− 6 |z| + 2γ ζj− = (1 − γ)|z| . Òàê êàê a1 > 0 , òî γ > 0 ; åñëè γ = 1 ,
P P
+2
j=1 j=1
òî a1 = (1, 1, ..., 1) , è âñå ai = 0 äëÿ i > 1 . Íî òàêàÿ ìàòðèöà îáëàäàåò ñâîéñòâîì
∀y ∈ Y Ay = y = (1, 0, ..., 0) , ò.å. |Ay − y| = 0 .
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ìàòðèöà A èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ñòðîêó, òî îíà óñòîé÷èâà.
Ëåììà 6. Åñëè Am óñòîé÷èâà äëÿ íåêîòîðîãî m , òî A óñòîé÷èâà.
Äîê-âî. Ïóñòü |Amk y −y| < ε ïðè k > N1 ; ïîëîæèì N2 = N1 m ; òîãäà ïðè k > N2
èìååì k = k1 m + r , ãäå k1 > N1 è r < m . Ïîýòîìó |Ak y − y| = |Ak1 m+r y − y| =
|Ar (Ak1 m y − y)| 6 |(Ak1 m y − y)| < ε ïî ëåììå 3.
Ñëåäñòâèå 2. Ìàòðèöà A óñòîé÷èâà, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî m ìàòðèöà Am èìååò
ïîëîæèòåëüíóþ ñòðîêó.
(m) (r) (s) (r+s)
Ïóñòü Am = (αij ) ; åñëè αij > 0 è αjk > 0 , òî αik > 0 . (1)
Ëåììà 7. Åñëè A íåïðèâîäèìà, òî äëÿ ëþáûõ i, j ñóùåñòâóåò r òàêîå, ÷òî
(r)
αij > 0 .
(r) (r)
Äîê-âî. Ïóñòü S = {j ∈ N | α1j = 0 ∀ r} , ïóñòü i ∈ / S , à j ∈ S ; òîãäà ∃ r α1i > 0 ;
(r+1)
åñëè αij > 0 , òî α1j > 0 (ñì. (1)), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó j ; ñëåäîâàòåëüíî,
αij = 0 .
Ëåììà 8. Ïóñòü (q1 , ..., qr ) = 1 (âçàèìíî ïðîñòû). Ñóùåñòâóåò N0 òàêîå, ÷òî ïðè
m > N0 èìååì m = mi qi äëÿ íåêîòîðûõ mi > 0 .
P
13
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
