Линейные неравенства. Ермолаев Е.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(E − B)(E + B + · · · + B
k
) = E − B
k+1
→ E
E + B + · · · + B
k
→ (E − B)
−1
k → ∞
B = (β
ij
) m × m
T y
0
T a
0
=
(α
01
, ..., α
0m
) C
0
C
0
/∈ T T µ
k
C
0
T k
µ
k
= a
0
(E +B +· · ·+B
k
)y
0
= a
0
(E −B)
−1
(E −B
k+1
)y
0
C
0
: µ = lim
k→∞
µ
k
= a
0
(E − B)
−1
y
0
B
0
=
0, 2 0, 5
0, 5 0, 3
!
; (E − B)
−1
=
0,7
0,31
0,5
0,31
0,5
0,31
0,8
0,31
!
y
0
= (1, 1), (E − B)
−1
y
0
= (1, 2/0, 31; 1, 3/0, 31)
C
1
0, 1 ·
1,2
0,31
=
0,12
0,31
C
3
0, 2 ·
1,2
0,31
=
0,24
0,31
C
5
0, 2 ·
1,3
0,31
=
0,26
0,31
n G
1
, ..., G
n
m C
1
, ..., C
m
A = (α
ij
) > 0 m × n α
ij
G
j
C
i
a
i
6= 0, i = 1, ..., m a
j
6= 0, j = 1, ..., n
b = (β
1
, ..., β
m
) > 0 β
i
C
i
m
P
i=1
β
i
= 1
y
i
= (η
i1
, ..., η
in
) C
i
µ
i
=
n
P
j=1
α
ij
η
ij
= a
i
y
i
C
i
C
i
py
i
6 β
i
p =
(π
1
, ..., π
n
) > 0
p = (π
1
, ..., π
n
) > 0 y
i
= (η
i1
, ..., η
in
)
n
P
i=1
π
i
= 1
n
P
i=1
y
i
= v = (1, ..., 1)
py
i
6 β
i
, i = 1, ..., m
max a
i
y
i
= a
i
y
i
p = (π
1
, ..., π
n
) > 0 y
i
= (η
i1
, ..., η
in
) > 0
ìàòðèöà).
   Äîêàçàòåëüñòâî       . Èìååì (E − B)(E + B + · · · + B k ) = E − B k+1 → E è ïîòîìó
E + B + · · · + B k → (E − B)−1 ïðè k → ∞ . 
 Ïóñòü B = (βij )  m × m -ïîäìàòðèöà â ìàòðèöå îáìåíà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîä-
ìíîæåñòâó T ; y0  ïåðâîíà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êàïèòàëà â ñòðàíàõ T ; a0 =
(α01 , ..., α0m )  ñòðîêà ýêñïîðòà â ñòðàíó C0 ( C0 ∈/ T ) èç ñòðàí, âõîäÿùèõ â T ; µk
 ñóììàðíàÿ ïðèáëü ñòðàíû C0 çà ñ÷åò ñòðàí èç T ïîñëå k òóðîâ.
   Èìååì µk = a0 (E +B +· · ·+B k )y0 = a0 (E −B)−1 (E −B k+1 )y0 . Îòñþäà ïðåäåëüíûé
äîõîä ñòðàíû C0 : µ = lim µk = a0 (E − B)−1 y0 .
                                  k→∞


   Ïðèìåð                                    !                                 !
                                                                  0,7    0,5
                                    0, 2 0, 5
                          B0 =                 ;   (E − B)−1 =   0,31
                                                                  0,5
                                                                        0,31
                                                                         0,8
                                    0, 5 0, 3                    0,31   0,31


y0 = (1, 1),      (E − B)−1 y0 = (1, 2/0, 31; 1, 3/0, 31) .
C1 ïîëó÷èò                1,2
                  0, 1 · 0,31 = 0,12
                                0,31
                                     ;
C3 ïîëó÷èò        0, 2 · 0,31 = 0,31 ;
                          1,2   0,24

C5 ïîëó÷èò                1,3
                  0, 2 · 0,31 = 0,26
                                0,31
                                     .

   5. Ðàâíîâåñèå öåí â ëèíåéíûõ ìîäåëÿõ îáìåíà.
 n  ïðîäóêòîâ G1 , ..., Gn (ñòîëáöû), m  ïîòðåáèòåëåé C1 , ..., Cm (ñòðîêè).
 Ïóñòü A = (αij ) > 0  m × n -ìàòðèöà ñóáúåêòèâíîé ïëîåçíîñòè; ( αij  ñóáåê-
òèâíàÿ ïîëåçíîñòü åäèíèöû ïðîäóêòà Gj äëÿ ïîòðåáèòåëÿ Ci ).
 Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ai 6= 0, i = 1, ..., m è aj 6= 0, j = 1, ..., n (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
íóëåâûå ëèíèè ìîæíî âû÷åðêíóòü).
 b = (β1 , ..., βm ) > 0  âåêòîð äîõîäîâ ïîòðåáèòåëåé ( βi  äîõîä ïîòðåáèòåëÿ Ci );
                         m
áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî         βi = 1 .
                        P
                           i=1
 yi = (ηi1 , ..., ηin )  àcñîðòèìåíòíûé íàáîð ïðîäóêòîâ ïîòðåáèòåëÿ Ci .
        n
 µi =       αij ηij = ai yi  ïîëåçíîñòü àcñîðòèìåíòíîãî íàáîðà äëÿ ïîòðåáèòåëÿ Ci .
        P
         j=1
 Àcñîðòèìåíòíûé íàáîð äëÿ Ci íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì, åñëè pyi 6 βi , ãäå p =
(π1 , ..., πn ) > 0  âåêòîð öåí íà ïðîäóêòû.
 Òðåáóåèñÿ íàéòè: p = (π1 , ..., πn ) > 0  âåêòîð öåí è y i = (η i1 , ..., η in )  àññîðòè-
ìåíòíûå íàáîðû òàêèå, ÷òî
           n
 (1)          πi = 1 .
          P
        i=1
         n
 (2)         y i = v = (1, ..., 1) .
        P
        i=1
 (3) py i 6 βi , i = 1, ..., m .
 (4) max ai yi = ai y i .
 Âåêòîðû p = (π1 , ..., πn ) > 0  âåêòîð öåí, y i = (η i1 , ..., η in ) > 0 , óäîâëåòâîðÿþùèå

                                                   15

Страницы