ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
⇒ py
i
= β
i
, i = 1, ..., m
m
P
i=1
py
i
= p
m
P
i=1
y
i
= pv =
n
P
j=1
π
j
=
m
P
i=1
β
i
= 1
π
j
> 0, j = 1, ..., n π
j
= 0 α
ij
> 0
G
j
π
j
= 0 α
ij
> 0
py
i
6 β
i
η
ij
max a
i
y
i
= ∞
π
j
> 0, j = 1, ..., n
Y = {y
1
, ..., y
m
|
n
P
i=1
y
i
= v = (1, ..., 1), y
i
> 0}
Y V
n
× · · · × V
n
A b p
y
i
i = 1, ..., m
Y ϕ(y
1
, ..., y
m
) = (a
1
y
1
)
β
1
· · · (a
m
y
m
)
β
m
y
1
, ..., y
m
π
j
= max
i
α
ij
β
i
a
i
y
i
, j =
1, ..., n
y
i
> 0,
n
P
i=1
y
i
= v π
j
= max
i
α
ij
β
i
a
i
y
i
, j = 1, ..., n
π
j
=
α
ij
β
i
a
i
y
i
⇔ η
ij
> 0, (∗)
p = (π
1
, ..., π
n
) y
i
a
i
6= 0 a
i
y
i
> 0
π
j
A > 0 b > 0 i
α
ij
β
i
a
i
y
i
y
i
, i = 1, ..., m
π
j
η
ij
=
β
i
a
i
y
i
α
ij
η
ij
i, j py
i
=
n
P
j=1
π
j
η
ij
=
β
i
a
i
y
i
n
P
j=1
α
ij
η
ij
= β
i
i 1 =
m
P
i=1
β
i
=
m
P
i=1
py
i
= pv =
n
P
j=1
π
j
α
11
/π
1
= max
j
α
1j
/π
j
y
1
a
1
y
1
=
n
P
j=1
α
1j
η
1j
6
α
11
π
1
n
P
j=1
π
j
η
1j
6
α
11
π
1
β
1
π
1
π
1
>
α
11
β
1
a
1
y
1
óñëîâèÿì (1)(4), íàçûâàþòñÿ ðàâíîâåñíûìè .
m m n m
(1),(2),(3) ⇒ py i = βi , i = 1, ..., m . ( βi = 1 .)
P P P P
py i = p y i = pv = πj =
i=1 i=1 j=1 i=1
πj > 0, j = 1, ..., n (ïðè πj = 0 ïîòðåáèòåëü, ó êîòîðîãî αij > 0 , ïîòðåáóåò
íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïðîäóêòà Gj ). Îáîñíîâàíèå: åñëè πj = 0 è αij > 0 , òî
âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà py i 6 βi íå çàâèñèò îò âûáîðà η ij è ïîòîìó max ai yi = ∞
(íî ïðè íàðóøåíèè óñëîâèÿ (2)). Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàåì πj > 0, j = 1, ..., n â ñèëó
ýêîíîìè÷åñêîé íåöåëåñîîáðàçíîñòè ïðîòèâíîãî.
n
Y = {y1 , ..., ym | yi = v = (1, ..., 1), yi > 0} ìíîæåñòâî àññîðòèìåíòíûõ íàáî-
P
i=1
ðîâ ( Y îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â Vn × · · · × Vn ).
Òåîðåìà 1. Äëÿ çàäàííûõ ìàòðèöû A è âåêòîðà b ðàâíîâåñíûé âåêòîð öåí p è
ðàâíîâåñíûå àññîðòèìåíòíûå íàáîðû y i i = 1, ..., m âñåãäà ñóùåñòâóþò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì íà Y ôóíêöèþ ϕ(y1 , ..., ym ) = (a1 y1 ) 1 · · · (am ym ) m .
β β
Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà (íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà çàìêíóòîì îãðàíè-
÷åííîì ìíîæåñòâå â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, äîñòèãàåò ñâîåãî ìàê-
ñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ) ñóùåñòâóþò íàáîðû y 1 , ..., y m , êîòîðûå ìàêñèìèçèðóþò ýòó
ôóíêöèþ. Äîêàæåì, ÷òî îíè è åñòü èñêîìûå ðàâíîâåñíûå íàáîðû. Ïðè ýòîì êîì-
α β
ïîíåíòû ðàâíîâåñíîãî âåêòîðà öåí îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè πj = max aiji y i , j =
i i
1, ..., n . Äîêàçàòåëüñòâî ðàçîáüåì íà äâå ëåììû.
n
α β
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ çàäàííûõ y i > 0, y i = v ; πj = max aiji y i , j = 1, ..., n
P
i=1 i i
âûïîëíåíî óñëîâèå
αij βi
πj = ⇔ η ij > 0, (∗)
ai y i
òîãäà p = (π1 , ..., πn ) ðàâíîâåñíûé âåêòîð öåí, à y i ðàâíîâåñíûå àñîðòèìåíòíûå
íàáîðû (ò.å. âûïîëíåíû (1)(4)).
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê âñå ai 6= 0 , òî ai y i > 0 , à çíà÷èò è âñå òîëüêî ÷òî
îïðåäåëåííûå πj òîæå ïîëîæèòåëüíû (ò.ê. A > 0 è b > 0 , òî ìàêñèìóì ïî i äðîáè
αij βi
ai y i
ïîëîæèòåëåí).
Óñëîâèå (2) âûïîëíÿåòñÿ ïî ïîñòðîåíèþ.
Ïðîâåðèì (3) (ò.å. äîïóñòèìîñòü êàæäîãî yi , i = 1, ..., m ). Â ñèëó (*) èìååì
n n
πj η ij = aβi yi αij η ij äëÿ âñåõ i, j . Ïîýòîìó py i = πj η ij = aβi yi αij η ij = βi .
P P
i i
j=1 j=1
m
Ïðîâåðèì (1). Ñóììèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî (ïî i ), ïîëó÷èì 1 =
P
βi =
i=1
m n
πj .
P P
py i = pv =
i=1 j=1
Íàêîíåö, ïðîâåðèì (4). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α11 /π1 = max α1j /πj (èíà÷å ïåðåíî-
j
n
ìåðóåì èíäåêñû). Òîãäà äëÿ àññîðòèìåíòíîãî íàáîðà y1 èìååì a1 y1 =
P
α1j η1j 6
j=1
n
α11 α11
. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ π1 èìååì π1 > α11 β1
èëè
P
π1
πj η1j 6 π1 1
β a1 y 1
j=1
16
