Составители:
Рубрика:
121
Если показатель e числа a по модулю m равен j(m), то a называют
примитивным элементом по модулю m.
Пример. По каким модулям число a = 2 является примитивным эле
ментом? m = 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19.
6.1.11. Конечные поля (поля Галуа)
В разд. 3 приведены определения математических моделей с од
ним классом объектов – групп, колец и полей (в частности – полей
Галуа).
Можно показать, что числовое конечное поле (поле с конечным чис
лом элементов) существует только при операциях сложения и умно
жения по модулю p, где p – простое число. Такие поля называются чис
ловыми конечными полями Галуа и обозначаются GF(p) или F(p).
Примеры.
1. Построить конечные поля F(2), F(3), F(7). Для решения этих при
меров указать все элементы множества U, найти нейтральные и обрат
ные элементы для групп по сложению и умножению с соответствую
щим модулем.
2. Показать, что не существует полей F(6), F(12), F(15).
Поля Галуа можно построить в совершенно другой форме, а именно
как поля многочленов по модулю некоторого неприводимого многочле
на над числовым полем F(p). В этом случае порядок поля (число его
элементов) равен p
h
, где p – простое, h – целое.
Пусть F(p) – числовое поле Галуа порядка p. Рассмотрим множество
многочленов вида
f(X) = a
0
+ a
1
X+ a
2
X
2
+ … + a
k
X
k
,
где a
i
Î F(p), i = 0, 1, 2, 3…, k, т. е. коэффициенты принимают значения
из F(p), операции сложения и умножения чисел выполняются по mod p.
Если a
k
¹
0, то многочлен f(X) имеет степень k. Множество всех много
членов, имеющих степень k и меньше, будем обозначать F
(k)
[X].
Введем операции сложения и умножения многочленов над полем
F(p) следующим образом. Пусть
f(X) = åf
i
X
i
и g(X) = åg
i
X
i
.
Тогда
f(X) + g(X) =
( ) ;
i
ii
i
fgX1
2
f(X)·g(X) =
0
.
i
iij
ij
fg X
12
34
34
56
77
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
