Дискретная математика. Ерош И.Л - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

123
Упражнения.
Найти остатки от деления многочленов:
a) X
5
Å X
2
Å X на X
3
Å X
2
Å X Å 1 в поле F(2) (0)
b) 2X
4
+ X
2
+ 2 на X
3
+2X
2
+2X +1 в поле F(3) (2X
2
)
Если в (6.2) остаток r(X) = 0, то говорят, что g(X) делит f(X). Если в
F(X) нет ни одного многочлена степени, большей 0, который бы делил
f(X) без остатка, за исключением скалярных кратных f(X), т. е. много
членов вида bf(X), где b Î F(p), то многочлен f(X) называется неприводи+
мым.
Найдем неприводимые многочлены некоторых малых степеней.
Имеется два многочлена первой степени: XÅ1 и X. По определению,
они оба считаются неприводимыми.
Многочлен второй степени вида X
2
Å aXÅ b будет неприводимым над
полем F(2), если он не будет делиться ни на какой неприводимый мно
гочлен первой степени, т. е. ни на XÅ1, ни на X. А это означает, что
он не должен иметь корней в поле F(2). Таким образом: F(0) = b ¹ 0,
F(1) = 1 Å aÅ b ¹ 0. Откуда получаем, что a = 1, b = 1, а сам неприводи
мый многочлен 2го порядка имеет вид X
2
ÅXÅ1.
Многочлен третьей степени имеет общий вид X
3
Å aX
2
Å bXÅ c. Он
будет неприводимым в поле F(2), если не будет делиться ни на один из
неприводимых многочленов первой степени (проверять делимость на
многочлен второй степени не требуется). Таким образом, должны вы
полняться условия: F(0) = c = 1, F(1) = 1 Å a Å b Å 1 = 1. Следователь
но, либо a, либо b должны равняться 1, но не оба вместе, поэтому су
ществуют два неприводимых многочлена третьей степени: X
3
ÅX
2
Å1 и
X
3
ÅXÅ1.
Приведем табл. 6.1 всех неприводимых многочленов над полем
F(2), степень которых не превышает 4.
Возьмем один из неприводимых многочленов степени 2 над число
вым полем F(2), например X
2
ÅXÅ1. При делении на этот многочлен
все многочлены будут давать остатки (вычеты по модулю этого непри
водимого многочлена). Приведем
все виды остатков: {(0), (1), (X),
(X Å1)}. Каждый из этих остатков
образует класс вычетов по модулю
неприводимого многочлена, а их
совокупность с операциями сло
жения и умножения по модулю
неприводимого многочлена обра
зует поле. Порядок этого поля
(число элементов) в общем случае
может быть равен p
h
, где p – про
Таблица 6.1
яаньламискаМ
ьнепетс
анелчогонм
еымидовирпеН
елопвынелчогонм
F )2(
1
XÅ ;1 X
2
X
2
ÅXÅ1
3
X
3
ÅX
2
Å ;1 X
3
ÅXÅ1
4
X
4
ÅX
3
ÅX
2
ÅXÅ ;1
X
4
ÅXÅ ;1 X
4
ÅX
3
Å1

Страницы