Дискретная математика. Ерош И.Л - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

124
стое, h – целое. В приведенном примере p = 2, h = 2 и порядок поля ра
вен 4.
Упражнение.
Постройте поля Галуа F(2
3
), F (2
4
) для пяти полиномов (многочле
нов), взятых из табл. 6.1.
Элемент поля a, такой, что F(a) = 0, называется корнем многочлена
f(X). В этом случае говорят, что уравнение f(X) имеет корень в поле
F(p).
Упражнения.
a) Найдите корни многочлена X
2
+ X + 1 в полях F(2), F(3), F(5),
F(7).
Покажем, как это сделать для поля F(5). В уравнение
X
2
+ X + 1 = 0 (6.3)
будем последовательно подставлять значения элементов поля: 0, 1, 2,
3, 4. В результате получим:
0
2
+ 0 + 1 º 1 mod 5;
1
2
+ 1 + 1 º 3 mod 5;
2
2
+ 2 + 1 º 2 mod 5;
3
2
+ 3 + 1 º 3 mod 5;
4
2
+ 4 + 1 º 1 mod 5,
т. е. этот многочлен не имеет корней в поле F(5). Однако он имеет кор
ни в поле F(7). Действительно, при X = 2 и X
2
= 4 левая часть уравне
ния (6.3) обращается в 0.
b) Найдите корни многочлена X
4
+X
3
+1 в тех же полях, что и в при
мере 1.
Конечное поле F(p
h
) содержит p
h
элементов. Основное поле F(p), ко
торое является подполем поля F(p
h
), содержит p элементов (0, 1, 2,
3,..., p–1) и 2 операции: Å mod p и Ä mod p.
Элемент a называется алгебраическим степени h над полем F(p), если
и только если a удовлетворяет в F(p) уравнению P(x) = 0, где P(x) –
многочлен степени h, но не удовлетворяет никакому уравнению с мно
гочленом меньшей степени. Это влечет неприводимость многочлена
P(x). Все p
h
элементов поля F(p
h
) могут быть представлены в виде åc
j
a
i
,
где 0 £ c
j
£ p–1; 0 £ a
i
£ h–1. При вычислениях степень a
s
, где s ³ h,
заменяется на меньшую в соответствии с уравнением P(a) = 0.
Пусть, например, p = 3, h = 2 и a удовлетворяет уравнению x
2
–x –1 = 0.
Элементы поля F(3
2
) можно выразить как 0, 1, 2, a, a + 1, a + 2, 2a,
2a + 1, 2a + 2.

Страницы