Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.1 Равенство множеств
Определение. Если
A
и
B
−
множества, то, по определению,
A
B
=
в
том и только в том случае, если одновременно
A
B⊂
и .
BA⊂
Таким образом,
A
B=
, если всякий элемент множества
A
принадлежит
также множеству
, а всякий элемент множества является элементом
множества
B B
A
.
Определение. Множество, состоящее из всех элементов множества
A
, не
принадлежащих множеству
, называется разностью множеств
B
A
и и
обозначается
B
\
A
B
. Если все рассматриваемые множества содержатся в не-
котором множестве
, то называется дополнением множества
U
\UA
A
и
обозначается
'
A
.
1. Доказать соотношение
()()()
A
BC AB AC∩∪=∩∪∩
. (1)
Решение.
Если
, то
()xA BC∈∩ ∪
xA
и при этом
xBC
∈
∪
. Последнее озна-
чает, что
или . Если
xB∈ xC∈ xB
∈
то, поскольку в то же время
xA
∈
,
и, следовательно,
xAB∈∩ ()(xAB AC)
∈
∩∪∩
. Если
xC
, то
и
xAC∈∩
()(xAB AC)
∈
∩∪∩
.
Таким образом,
()()()
A
BC AB AC∩∪⊂∩∪∩
. (2)
Пусть теперь
. Тогда
()(xAB AC∈∩∪∩)
xAB
∈
∩
или
xAC
∈
∩
.
Если
, то и
xAB∈∩ xA∈ xB
∈
. Поэтому
xBC
∈
∪
и .
Если
, то и
()xA BC∈∩ ∪
xAC∈∩ xA∈ xC
∈
,
xBC
∈
∪
и
()xA BC
∈
∩∪
.
Следовательно
()() ()
A
BACABC∩∪∩⊂∩∪
. (3)
Согласно (2) и (3), левая часть соотношения (1) содержится в правой, а пра-
вая – в левой. Это означает, что равенство (1) верно.
4

Страницы