Дислокационные механизмы разрушения двойникующихся материалов. Федоров В.А - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

двойникующей дислокации; h – межплоскостное расстояние;
S – относительный сдвиг при двойниковании
а) б)
Рис. 12.2. Элементы двойникования в ГЦК решетке:
а – плоскость двойникования и направление сдвига;
б – геометрия двойникования. Обозначения те же, что и на рис. 12.1
Понятно, что в общем случае границы двойника не обязательно должны содержать одинаковое
число дислокаций, т.е. они отличаются степенью некогерентности. Далее рассмотрен именно такой
случай асимметричного двойника с различным числом дислокаций в его границах. Формально это
означает, что каждую из границ следует рассматривать отдельно и для каждой из них записывать
свои уравнения равновесия дислокаций.
Пусть границы содержит разное количество n
1
и n
2
дислокаций. Головная дислокация "заперта" в
точке с координатами x = y = 0 и принадлежит одновременно верхней и нижней границам. Скопление
дислокаций поджимается к головной внешними напряжениями
τ
. Для верхней границы с числом дис-
локаций n
1
уравнения равновесия будут иметь следующий вид
−
++−
+−−
∑
−+
−+−
−−−
∑
−
=
≠
=
222
22
2
222
22
,1
])()[(
)()(
)(
])()[(
)()(
)(
21
jiji
jiji
n
j
ji
jiji
jiji
n
ij
j
ji
yyxx
yyxx
xx
yyxx
yyxx
xx
,0=
τ
−
Db
i = 2, 3, ..., n, (12.1)
где x
i
и y
i
– координаты i-й дислокации. Здесь первое слагаемое описывает взаимодействие i-й дислока-
ций с дислокациями верхней границы, второе – с дислокациями нижней границы.
Аналогично записываются уравнения для дислокаций в нижней границе:
−
++−
+−−
∑
−+
−+−
−−−
∑
−
=≠=
222
22
2
222
22
,1
])()[(
)()(
)(
])()[(
)()(
)(
12
jiji
jiji
n
j
ji
jiji
jiji
n
iij
ji
yyxx
yyxx
xx
yyxx
yyxx
xx
,0=
τ
−
Db
i = 2,3, ..., n.
(12.2)
Таким образом, мы получили систему нелинейных уравнений (12.1) и (12.2) с общим числом неиз-
вестных n
1
+ n
2
– 1.
Системы уравнений (12.1) – (12.2) решали численно методом последовательных приближений
[130]. В последнем (k + 1)-e приближение для координат дислокаций
1+k
x находили в результате после-
довательного решения i-го уравнения системы для i = 2, 3, ..., n при фиксированных значениях осталь-
ных неизвестных. В качестве начального приближения x
0
использовали координаты дислокаций плос-
кого скопления, поджимаемого приложенным напряжением к неподвижной дислокации в точке x = y =
0. Известно, что в этом случае положение дислокаций определяется нулями полинома Лагерра
)/2(
1
1
AxL
n
π
−
, где DbA = (см. главу 3). Причем нет необходимости находить точные значения корней по-
линома
1
1
−n
L , а можно воспользоваться их асимптотикой. В нашем случае использовалось следующее
приближенное выражение для координат дислокаций
τ≈ nAix
i
/2
2
.
Процесс итерационного уточнения корней прекращался при выполнении условия max ε≤−
+ k
i
ik
i
xx , (i
= 2, 3, ..., n); ε – заданная точность. Величина
ε
выбиралась такой, чтобы в состоянии равновесия мак-
симальная разность напряжений между соседними дислокациями скопления не превышала 10
–5
τ.
Решение уравнений (12.1) – (12.2) дает равновесные координаты x
i
дислокаций, зависящие от вели-
чины внешнего напряжения
τ
при
n = const.
h

Страницы