Методические рекомендации для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики "Механика". Филимонова Л.В - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

98
Далее требуется провести ряд математических преобразований, что-
бы выразить приблизительно высоту подъема
h через радиусы дисков и
длину нитей, т.е. через
R, r и l. Запишем:
1
2
1
2
1
dd
dd
ddh
+
−
=−=
(2). Из
прямоугольного треугольника ВВ
2
А:
22
)( rRld −−= , аналогично из
ВВ
1
А
1
найдем d
1
, где В
1
А
1
выражаем по теореме косинусов из треугольни-
ка В
1
О
1
А
1
: )cos2(
222
1
α
RrrRld −+−= . Подставим в (2):
l
Rr
l
Rr
dd
Rr
dd
Rr
h
22
)
2
(4
2
sin22
)cos1(2
2
2
1
2
1
α
α
α
α
=
⋅
≈
+
⋅
=
+
−
= (3),
где приближенные замены оправданы в случае большой длины нитей
l и
малых углах отклонений
α
при крутильных колебаниях нижнего диска
трифиляра (это дает приближение данного движения в форме гармониче-
ских колебаний).
Подставляя (3) в (1), получаем:
0
22
1
22
=+
⋅
ϕϕ
l
mgRr
I
. Продиффе-
ренцировав это выражение по времени, сократив на
⋅
ϕ
и поделив на I, по-
лучим уравнение движения системы:
0=+
⋅⋅
ϕϕ
I
l
Rr
mg
(4). Решение этого
уравнения имеет вид:
)sin(
0
θϕϕ
+= t
Il
mgRr
, где
Il
mgRr
=
ω
- циклическая частота
крутильных колебаний нижнего диска,
θ
- начальная фаза, задающая по-
ложение нижнего диска в начальный момент времени. Тогда период коле-
баний системы равен:
mgRr
Il
T ⋅==
π
ω
π
2
2
(5). Разрешив относительно
I, найдем выражение для момента инерции системы: 
                                             98


     Далее требуется провести ряд математических преобразований, что-
бы выразить приблизительно высоту подъема h через радиусы дисков и

                                                                       d 2 − d12
длину нитей, т.е. через R, r и l. Запишем: h = d − d1 =                             (2). Из
                                                                           d + d1
                                                             2         2
прямоугольного      треугольника ВВ2А: d = l − ( R − r ) , аналогично из
ВВ1А1 найдем d1, где В1А1 выражаем по теореме косинусов из треугольни-
                    2       2        2
ка В1О1А1: d1 = l − ( R + r − 2 Rr cos α ) . Подставим в (2):
                                                        α          α
                                  2 Rr ⋅ 2 sin 2            4 Rr ⋅ ( ) 2
           2 Rr (1 − cos α )                            2 ≈         2 = Rrα
                                                                            2
      h=                     =                                                         (3),
                d + d1                    d + d1                 2l      2l
где приближенные замены оправданы в случае большой длины нитей l и
малых углах отклонений          α при крутильных колебаниях нижнего диска
трифиляра (это дает приближение данного движения в форме гармониче-
ских колебаний).
                                          ⋅
                                     1       mgRr 2
     Подставляя (3) в (1), получаем:   I ϕ2+     ϕ = 0 . Продиффе-
                                     2        2l
                                                                   ⋅
ренцировав это выражение по времени, сократив на                  ϕ и поделив на I, по-
                                                  ⋅⋅
лучим уравнение движения системы:                 ϕ + mg Rr ϕ = 0 (4). Решение этого
                                                             Il
уравнения имеет вид:
                        mgRr                                mgRr
     ϕ = ϕ 0 sin(            t + θ ) , где ω =                   - циклическая частота
                         Il                                  Il
крутильных колебаний нижнего диска, θ - начальная фаза, задающая по-
ложение нижнего диска в начальный момент времени. Тогда период коле-
                                2π                      Il
баний системы равен: T =                 = 2π ⋅             (5). Разрешив относительно
                                ω                      mgRr
I, найдем выражение для момента инерции системы:

Страницы