Элементы математической логики. Фролов И.С. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

§8. Логика первого порядка
В логике высказываний исходными элементами являются атомы.
Из атомов составляются формулы, сами же атомы рассматриваются
как единое целое. Однако существуют типы логических рассуждений,
которые не могут рассматриваться таким простым способом. Напри-
мер, «Все люди смертны. Конфуций — человек. Следовательно, Кон-
фуций смертен.» Чтобы выявить связь между высказанными предло-
жениями, необходимо детализировать строение атомов, составляющих
эти предложения. Это делается в логике первого порядка, которая по
сравнению с логикой высказываний имеет еще три логических понятия
(термы, предикаты и кванторы).
Пусть P (x) означает, что x обладает свойством P . Запись ∀xP (x)
обозначает утверждение: «для всех x свойство P выполнено». Запись
∃xP (x) будет означать, что «существует x, обладающий свойством P ».
Символ ∀ называется квантором всеобщности, ∃ — квантором суще-
ствования. Например, при обозначениях H(x): «x есть человек», S(x):
«x смертен», k: «Конфуций» приведенное выше умозаключение примет
вид:
∀x(H(x) ⇒ S(x)), H(k) |= S(k).
Определим язык логики первого порядка — для этого последо-
вательно введем алфавит логики первого порядка и понятия терма и
формулы.
1. Язык логики первого порядка
Алфавит логики первого порядка состоит из:
1) предметных символов, или констант (т.е. имен предметов: 1,
2, Jane, John, Петербург, Шанхай). Абстрагируясь от смысла пред-
метов, будем их обозначать a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a, b, c, . . .;
2) символов предметных переменных (x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x, y, z, . . .);
3) функциональных символов (f
1
, f
2
, f
3
, . . . , f, g, h, . . . );
4) предикатных символов (P
1
, P
2
, P
3
, . . . , P, Q, R, . . .);
5) логических связок ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔;
6) кванторов ∀, ∃;
7) синтаксических символов — скобок и запятой.
Каждый функциональный и предикатный символ имеет свою ар-
ность (количество аргументов). Разделение на функциональные и пре-
дикатные символы до некоторой степени условно. Например, выраже-
ние sum(x, y, z) может иметь тот же смысл, что и sum(x, y) = z.
58

Страницы